7. Корпускулярно-хвильовий дуалізм Приклади розв’язків задач

Приклад 7.1. Порівняйте довжину хвилі де Бройля кульки маси т = 2,0 г і протона, швидкості яких однакові.

Розв’язання. Згідно з гіпотезою де Бройля рухомій частинці, імпульс якої р, відповідає хвиля, довжина хвилі якої λ:

, (1)

де h — стала Планка; р — імпульс частинки; т і υ — відповідно її маса й швидкість.

Вважаючи кульку і протон нерелятивістськими, одержимо:

,

де m₁ і m₂  — маси спокою відповідно кульки і протона.

Відповідь:.  = 8,4∙10^–25.

Приклад 7.2. Порівняйте довжини хвиль де Бройля електрона (λ_е) і протона (λ_р), які пройшли однакову прискорювальну різницю потенціалів. Розгляньте нерелятивістський і релятивістський випадки.

Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля λ частинки:

. (1)

Знаючи кінетичну енергію К частинки, можна визначити її імпульс р.

(нерелятивістський випадок, К<<Е₀), (2)

(релятивістський випадок, К співвимірна з Е₀ або навіть більша від Е₀, де m — маса спокою частинки). (3)

Кінетичні енергії електрона й протона, які пройшли одну і ту ж прискорювальну різницю потенціалів U, однакові ( ).

Нерелятивістський випадок. Підставивши (2) в (1), одержимо довжину хвилі де Бройля

.

Тоді шукане відношення

.

Релятивістський випадок. Підставивши (3) в (1), одержимо довжину хвилі де Бройля

.

Тоді шукане відношення

.

Відповідь: (нерелятивістський випадок); (релятивістський випадок).

Приклад 7.3. Визначити довжину хвилі де Бройля електрона, кінетична енергія якого К=60 еВ.

Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля

. (1)

Тобто, завдання практично зводиться до вираження імпульсу р електрона через його кінетичну енергію. Оскільки за умовою задачі кінетична енергія електрона К = 60 еВ   511 кеВ = Е₀, то він є нерелятивістською частинкою. Кінетична енергія нерелятивістської частинки , тому . Підставивши цей вираз в (1), отримуємо довжину хвилі де Бройля:

.

Відповідь: λ = 160 пм.

Приклад 7.4. Визначити довжину хвилі де Бройля електронів, що бомбардують поверхню металу, якщо короткохвильова межа гальмівного спектру λ_min = 2,0 нм.

Розв’язання. Довжина хвилі де Бройля частинки, імпульсом якої р

. (1)

Перш за все з’ясуємо з яким електроном маємо справу — нерелятивістським чи релятивістським. Оскільки енергія фотона короткохвильової межі , то із закону збереження енергії , тому отримуємо

.

Електрон нерелятивістський і його імпульс .

Тоді довжина хвилі де Бройля

.

Відповідь: λ = 45 пм.

Приклад 7.5. Паралельний пучок нерелятивістських протонів падає нормально на вузьку щілину завширшки b = 1,0 мкм. З огляду на хвильові властивості протонів, визначити їхню швидкість, якщо на екрані, що розміщений на відстані l = 50 см від щілини, ширина центрального максимуму дифракції становить Δх = 0,40 мм.

Розв’язання. Згідно із гіпотезою де Бройля електронам відповідає хвиля, довжина хвилі якої

. (1)

У припущенні, що електрони нерелятивістські ( ),

, (2)

де m — маса спокою електрона.

Хвилі де Бройля зазнають дифракції Фраунгофера на щілині. Центральний максимум дифракції обмежений мінімумами порядку , для яких

. (3)

Оскільки , то . З урахуванням цього та (2), із (3) одержимо

.

Відповідь: υ = 990 м/с.

Приклад 7.6. Паралельний пучок нерелятивістських електронів, прискорених різницею потенціалів U, падає нормально на діафрагму із двома вузькими щілинами, відстань між якими d. Визначити відстань між сусідніми максимумами інтерференційної картини на екрані, розташованому на відстані l від щілин (l   d).

Розв’язання. Із хвильової оптики відомо (дослід Юнга), що шукана відстань Δх (ширина інтерференційної смуги) визначається формулою

Δх = λl/d.

Підставивши сюди замість λ вираз (3.1) для довжини хвилі де-Бройля, одержимо

,

де враховано, що кінетична енергія електронів К = eV.

Відповідь: .