§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

66.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

○Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

○Замечание 1. Тангенс угла равен отношению синуса этого угла к косинусу.

○Замечание 2. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны соответственно.

Теорема (основное тригонометрическое тождество). .

Глава 8

Окружность

§1. Касательная к окружности.

68.

*○Теорема 1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 2 общие точки.

*○Теорема 2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиуса, то прямая и окружность имеют ровно 1 общую точку.

*○Теорема 3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса, то прямая и окружность не имеют общих точек.

○Определение. Секущей по отношению к окружности называется прямая, которая имеет с ней 2 общие точки.

69.

*○Определение. Касательной к окружности называется прямая, имеющая с ней только одну общую точку.

Теорема (Ссвойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

●Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, равны.

●Теорема. Отрезки касательных, проведенные из одной точки к одной окружности, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

*●Теорема (Признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она – касательная.

§2. Центральные и вписанные углы.

70.

○Определение. Дугой окружности называется каждая из двух частей, на которые две точки разделяют окружность.

○Определение. Полуокружностью называется дуга, концы которой соединяет диаметр этой окружности.

*○Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре окружности (а стороны ее пересекают).

○Определение. Градусная мера дуги, которая меньше полуокружности (или равна), считается равной градусной мере центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

○Определение. Градусная мера дуги, которая больше полуокружности, считается равной 360 без градусной меры центрального угла, стороны которого проходят через ее концы.

Замечание. Сумма градусных мер двух дуг окружностей с общими концами равна 360.

71.

○Определение. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

○Определение. Вписанный в окружность угол называется опирающимся на ее дугу, если дуга расположена внутри него, а ее концы лежат на его сторонах.

Теорема (свойство вписанного угла). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

●Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Теорема (о двух пересекающихся хордах). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

○Теорема ( 659). Градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны.

○Теорема (об угле между касательной и секущей( 664)). Угол между касательной и секущей, проведенной через точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между ними.

○Теорема ( 668). Перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые он делит диаметр.

○Теорема (о длине касательной и секущей( 670)). Если АВ - касательная (где В – точка касания), а АP секущая (причем P и Q точки пересечения ее с той же окружностью), то .