§3. Теорема Пифагора.

54.

Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

55.

Теорема (обратная теореме Пифагора). Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

○Определение. Пифагоровыми треугольниками называются прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами.

Глава 7

Подобные треугольники

§1. Определение подобных треугольников.

56.

○Определение. Отношением отрезков АВ и СD называется отношение их длин.

○Определение. Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам A B и C D , если .

57.

○Определение. Если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то сходственными сторонами называются стороны этих треугольников, лежащие против соответственно равных углов.

Определение. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

○Определение. Коэффициентом подобия называется число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

58.

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников). Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

○Теорема (Свойство биссектрисы треугольника ( 535)). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

§2. Признаки подобия треугольников.

59.

●Теорема (1 признак подобия треугольников). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

60.

Теорема (2 признак подобия треугольников). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

61.

●Теорема (3 признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

○Теорема (Фалеса, расширенная ( 556)). Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной его стороне, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на другой его стороне.

§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

62.

Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

●Теорема (Свойство средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна ее половине.

○Теорема (Свойство медиан треугольника). Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

63.

○Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

○Определение. Средним пропорциональным между отрезками AB и CD (или средним геометрическим) называется отрезок XY, если .

○Замечание 1 (свойство высоты прямоугольного треугольника). Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

○Замечание 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между этим катетом и высотой, проведенной к гипотенузе.