§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.

45.

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

●Теорема (свойство прямоугольника). В прямоугольнике диагонали равны.

●Теорема (признак прямоугольника). Если в параллелограмме диагонали равны, то это - прямоугольник.

46.

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

●Теорема (свойство ромба). В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

○Теорема (1 признак ромба ( 408)). Если в параллелограмме диагонали

взаимно перпендикулярны, то это - ромб.

○Теорема (2 признак ромба ( 408)). Если в параллелограмме диагональ

является биссектрисой его угла, то это - ромб.

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

●Теорема (1 свойство квадрата). В квадрате все углы прямые.

●Теорема (2 свойство квадрата). В квадрате диагонали равны, взаимно

перпендикулярны и делят его углы пополам.

47.

○Определение. Две точки А и А называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая - серединный перпендикуляр к отрезку АА .

○Замечание. Каждая точка оси симметрии считается симметричной сама себе.

○Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно прямой а, также принадлежит фигуре.

○Определение. Две точки А и А называются симметричными относительно точки О, если эта точка - середина отрезка АА .

○Замечание. Точка - центр симметрии считается симметричной сама себе.

○Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры точка, симметричная ей относительно точки О, также принадлежит фигуре.

Глава 6

Площадь

§1. Площадь многоугольника.

48.

○Не определение! Площадь многоугольника - это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

○Замечание 0. Площадь квадрата со стороной 1 равна 1 квадратной единице.

Замечание 1. Равные многоугольники имеют равные площади.

●Замечание 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме их площадей.

Замечание 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

50.

Теорема (площадь прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.

51.

○Определение. Основанием параллелограмма называется одна из его сторон.

○Определение. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведенный к прямой, содержащей основание, из любой точки противоположной стороны.

Теорема (площадь параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

52.

○Определение. Основанием треугольника называется одна из его сторон.

●Теорема (площадь треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к нему.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие 2. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

●Теорема (об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

53.

○Определение. Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания к прямой, содержащей другое основание.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.