§2. Объем прямой призмы и цилиндра.

65.

Теорема. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

66.

Определение. Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания описаны около оснований цилиндра.

Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: .

§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.

67.

Теорема (основная формула для вычисления объемов тел). .

68.

Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

○Теорема. Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения.

69.

Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

●Следствие. Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: .

70.

●Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: .

.

●Следствие. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: .

§4. Объем шара и площадь сферы.

71.

Теорема. Объем шара радиуса R равен .

72.

Определение. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

○Определение. Высотой сегмента называется отрезок диаметра шара, заключенного внутри сегмента и перпендикулярного секущей плоскости.

Теорема. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: .

Определение. Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями.

○Определение. Высотой шарового слоя называется расстояние между секущими плоскостями.

○Теорема. Объем шарового слоя равен разности объемов двух шаровых сегментов.

○Определение. Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с острым углом, вокруг одного из ограничивающих его радиусов.

Теорема. Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса.

Теорема. Объем шарового сектора вычисляется по формуле .

73.

○Теорема. Площадь сферы радиуса R равна .

*****

Приложения

АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

Аксиома 1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.

Аксиома 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Аксиома 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Аксиома 4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

●Аксиома 5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.

●Аксиома 6. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Аксиома 7. Из трех точек прямой одна и только одна, лежит между двумя другими.

●Аксиома 8. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

●Аксиома 9. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет ее на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ни одной из указанных полуплоскостей.

●Аксиома 10. Каждая плоскость α разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что любые две точки одного полупространства лежат по одну сторону от плоскости плоскость α, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от плоскости плоскость α. При этом точки плоскости α не принадлежат ни одному из указанных полупространств.

Аксиомы наложения.

Аксиома 11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.

Аксиома 12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

Аксиома 13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

○!!!!!(опечатка в учебнике) Аксиома 14. Два равных угла hk и ,лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и , можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и , причем это можно сделать единственным образом.

Аксиомы равенства.

Аксиома 15. Любая фигура равна самой себе.

Аксиома 16. Если фигура Ф равна фигуре , то фигура равна фигуре Ф.

Аксиома 17. Если фигура равна фигуре , а фигура равна фигуре , то фигура равна фигуре .

Аксиомы измерения.

Аксиома 18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.

●Аксиома 19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельных прямых.

Аксиома 20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.