§3. Сфера.

58.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

○Определение. Радиусом сферы называется любой отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь ее точку.

○Определение. Диаметром сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр.

○Определение. Шаром называется тело, ограниченное сферой.

○Замечание. Шар с центром О и радиусом R содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R, и только эти точки.

59.

○Определение. Уравнением поверхности называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

○Теорема (уравнение сферы). В прямоугольной системе координат уравнение сферы с центром и радиусом R имеет вид: .

60.

○Теорема 1. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечением сферы этой плоскостью является окружность.

○Следствие. Сечением шара плоскостью является круг.

Теорема 2. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Теорема 3. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

61.

○Определение. Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку.

Теорема. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

62.

○Определение. Описанным около сферы многогранником называется многогранник, все грани которого касаются сферы.

○Определение. Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех его граней.

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.

○!!!!!(опечатка в учебнике) Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если ее основания вписаны в основания цилиндра.

Глава 7

Объемы тел

§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.

63.

○Замечание 0. Объем куба со стороной 1 равен 1 кубической единице.

Замечание 1. Равные тела имеют равные объемы.

Замечание 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме их объемов.

Следствие. Объем куба с ребром равен .

64.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Следствие 1. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.