- •Геометрия в определениях и теоремах
- •Геометрия 7-9
- •Геометрия 7 глава 1
- •§1. Прямая и отрезок.
- •§2. Луч и угол.
- •§3. Сравнение отрезков и углов.
- •§4. Измерение отрезков.
- •§5. Измерение углов.
- •§6. Перпендикулярные прямые.
- •Глава 2
- •§1. Первый признак равенства треугольников.
- •§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
- •§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.
- •§4. Задачи на построение.
- •Глава 3
- •§1. Признак параллельности двух прямых.
- •§2. Аксиома параллельных прямых.
- •Глава 4
- •§1. Сумма углов треугольника.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Прямоугольные треугольники.
- •§4. Построение треугольника по трем элементам.
- •Геометрия 8
- •Глава 5
- •§1. Многоугольники.
- •§2. Параллелограмм и трапеция.
- •§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.
- •Глава 6
- •§1. Площадь многоугольника.
- •§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.
- •§3. Теорема Пифагора.
- •Глава 7
- •§1. Определение подобных треугольников.
- •§2. Признаки подобия треугольников.
- •§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
- •§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- •Глава 8
- •§1. Касательная к окружности.
- •§2. Центральные и вписанные углы.
- •§3. Четыре замечательные точки треугольника.
- •§4. Вписанная и описанная окружности.
- •Глава 9
- •§1. Понятие вектора.
- •§2. Сложение и вычитание векторов.
- •§3. Умножение вектора на число.
- •Геометрия 9 глава 10
- •§1. Координаты вектора.
- •§2. Простейшие задачи в координатах.
- •§3. Уравнения окружности и прямой.
- •Глава 11
- •§1. Синус, косинус и тангенс угла.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Скалярное произведение векторов.
- •Глава 12
- •§1. Правильные многоугольники.
- •§2. Длина окружности и площадь круга.
- •Глава 13
- •§1. Понятие движения.
- •§2. Параллельный перенос и поворот.
- •Приложения
- •Геометрия
- •Геометрия 10
- •Глава 1
- •§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
- •§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
- •§3. Параллельность плоскостей.
- •§3. Тетраэдр и параллелепипед.
- •Глава 2
- •§1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
- •§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
- •Глава 3
- •§1. Понятие многогранника. Призма.
- •§2. Пирамида.
- •§3. Правильные многогранники.
- •Геометрия 11
- •Глава 4
- •§1. Понятие вектора в пространстве.
- •§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •§2. Компланарные векторы.
- •Глава 5
- •§1. Координаты точки и координаты вектора.
- •§2. Скалярное произведение векторов.
- •§3. Движения.
- •Глава 6
- •§1. Цилиндр.
- •§2. Конус.
- •§3. Сфера.
- •Глава 7
- •§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.
- •§2. Объем прямой призмы и цилиндра.
- •§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.
- •§4. Объем шара и площадь сферы.
- •Приложения
Геометрия
10-11
*****
Геометрия 10
Введение
2.
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
●Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.
●Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.
3.
Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Глава 1
Параллельность прямых и плоскостей
§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
4.
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема (о параллельных прямых). Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
5.
●Лемма (о пересечении параллельными прямыми плоскости). Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Теорема (о связке параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
6.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
●Теорема (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскость.
○Замечание 1. Если прямая параллельна плоскости и лежит в плоскости, пересекающей данную, то прямая параллельна линии пересечения плоскостей.
○Замечание 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
7.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
●Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
○Следствие. Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
а) прямые пересекаются;
б) прямые параллельны;
в) прямые скрещиваются.
Теорема (свойство скрещивающихся прямых). Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
8.
○Определение. Полуплоскостью называется каждая из двух частей, на которые прямая, лежащая в плоскости, делит эту плоскость.
○Определение. Два луча называются сонаправленными, если
1) они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала, или
2) они лежат на одной прямой и совпадают или один из них содержит другой.
●Теорема (об углах с сонаправленными сторонами). Углы с сонаправленными сторонами равны.
9.
○Определение. Углом между пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных ими.
○Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
○Теорема (корректность определения скрещивающихся прямых). Угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пересекающихся прямых, им параллельных.