§1. Синус, косинус и тангенс угла.
94.
○Определение.
Основным
тригонометрическим тождеством
называется равенство
.
§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
96.
Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
97.
Теорема (синусов). Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
○Теорема (синусов, расширенная). Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности.
98.
●Теорема (косинусов). Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
§3. Скалярное произведение векторов.
101.
Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.
102.
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
○Теорема. Скалярное произведение ненулевых векторов равно 0 тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
○Определение.
Скалярным
квадратом вектора
называется скалярное произведение
вектора на себя и обозначается
.
○Теорема.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины:
.
103.
Теорема.
Скалярное произведение векторов
и
выражается формулой:
.
●Следствие
1 (условие перпендикулярности векторов).
Ненулевые векторы
и
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда их скалярное произведение равно
0 (
).
Следствие
2 (косинус угла между векторами).
Косинус угла между ненулевыми векторами
и
выражается формулой:
.
104.
Теорема (основные свойства скалярного произведения векторов). Для любых векторов , , и любого числа k справедливы соотношения:
,
причем
>0
при
;
(переместительный
закон);
(распределительный
закон);
(сочетательный
закон).
Глава 12
Длина окружности и площадь круга.
§1. Правильные многоугольники.
105.
Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
106.
Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
107.
Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
●Следствие 1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается его сторон в их серединах.
●Следствие 2. Центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, совпадает с центром окружности, описанной около него.
○Определение. Центром правильного многоугольника называется центр окружности, вписанной в него или описанной около него.
108.
○Теорема (площадь правильного многоугольника). Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
109.
○Замечание. Не все правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки.