Геометрия 9 глава 10

Метод координат.

§1. Координаты вектора.

86.

●Лемма. Если векторы и коллинеарны и , то существует число k такое, что .

○Определение. Вектор называется разложенным по векторам и , если его можно представить в виде , где x и y - некоторые числа.

●Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем единственным образом.

87.

○Определение. Координатными векторами называются два единичных вектора, отложенные от начала координат так, чтобы направление одного из них совпало с направлением оси Ох, а другого - оси Оу.

○Определение. Координатами вектора в данной системе координат называются коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам.

○Замечание 0. Координаты нулевого вектора равны нулю.

Замечание 1. Координаты равных векторов соответственно равны.

Теорема 1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Теорема 2. Каждая координата разности двух или более векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Теорема 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

§2. Простейшие задачи в координатах.

88.

○Определение. Радиус-вектором точки называется вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат.

○Теорема. Координаты точки равны соответствующим координатам ее радиус- вектора.

Теорема (о координатах вектора). Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

89.

Теорема (о координатах отрезка). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

○Теорема (о длине вектора). Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат. (Длина вектора вычисляется по формуле ).

○Теорема (о расстоянии между двумя точками). Расстояние между точками и вычисляется по формуле .

○Теорема (952). Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от его вершин (является центром описанной около него окружности).

○Теорема (свойство параллелограмма (953)). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

§3. Уравнения окружности и прямой.

90.

○Определение. Уравнением линии называется уравнение с двумя переменными x и у, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

91.

○Теорема (уравнение окружности). В прямоугольной системе координат уравнение окружности с центром и радиусом R имеет вид: .

92.

○Теорема (уравнение прямой). В прямоугольной системе координат уравнение прямой имеет вид: ax+by+c=0.

Глава 11

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов.