- •Геометрия в определениях и теоремах
- •Геометрия 7-9
- •Геометрия 7 глава 1
- •§1. Прямая и отрезок.
- •§2. Луч и угол.
- •§3. Сравнение отрезков и углов.
- •§4. Измерение отрезков.
- •§5. Измерение углов.
- •§6. Перпендикулярные прямые.
- •Глава 2
- •§1. Первый признак равенства треугольников.
- •§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
- •§3. Второй и третий признаки равенства треугольников.
- •§4. Задачи на построение.
- •Глава 3
- •§1. Признак параллельности двух прямых.
- •§2. Аксиома параллельных прямых.
- •Глава 4
- •§1. Сумма углов треугольника.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Прямоугольные треугольники.
- •§4. Построение треугольника по трем элементам.
- •Геометрия 8
- •Глава 5
- •§1. Многоугольники.
- •§2. Параллелограмм и трапеция.
- •§3. Прямоугольник, ромб, квадрат.
- •Глава 6
- •§1. Площадь многоугольника.
- •§2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции.
- •§3. Теорема Пифагора.
- •Глава 7
- •§1. Определение подобных треугольников.
- •§2. Признаки подобия треугольников.
- •§3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.
- •§4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- •Глава 8
- •§1. Касательная к окружности.
- •§2. Центральные и вписанные углы.
- •§3. Четыре замечательные точки треугольника.
- •§4. Вписанная и описанная окружности.
- •Глава 9
- •§1. Понятие вектора.
- •§2. Сложение и вычитание векторов.
- •§3. Умножение вектора на число.
- •Геометрия 9 глава 10
- •§1. Координаты вектора.
- •§2. Простейшие задачи в координатах.
- •§3. Уравнения окружности и прямой.
- •Глава 11
- •§1. Синус, косинус и тангенс угла.
- •§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
- •§3. Скалярное произведение векторов.
- •Глава 12
- •§1. Правильные многоугольники.
- •§2. Длина окружности и площадь круга.
- •Глава 13
- •§1. Понятие движения.
- •§2. Параллельный перенос и поворот.
- •Приложения
- •Геометрия
- •Геометрия 10
- •Глава 1
- •§1. Параллельность прямых, прямой и плоскости.
- •§2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.
- •§3. Параллельность плоскостей.
- •§3. Тетраэдр и параллелепипед.
- •Глава 2
- •§1. Перпендикулярность прямой и плоскости.
- •§2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью.
- •§2. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
- •Глава 3
- •§1. Понятие многогранника. Призма.
- •§2. Пирамида.
- •§3. Правильные многогранники.
- •Геометрия 11
- •Глава 4
- •§1. Понятие вектора в пространстве.
- •§2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.
- •§2. Компланарные векторы.
- •Глава 5
- •§1. Координаты точки и координаты вектора.
- •§2. Скалярное произведение векторов.
- •§3. Движения.
- •Глава 6
- •§1. Цилиндр.
- •§2. Конус.
- •§3. Сфера.
- •Глава 7
- •§1. Объем прямоугольного параллелепипеда.
- •§2. Объем прямой призмы и цилиндра.
- •§3. Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса.
- •§4. Объем шара и площадь сферы.
- •Приложения
§3. Четыре замечательные точки треугольника.
72.
Теорема (Свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
●Теорема (обратная к свойству биссектрисы угла). Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от его сторон, лежит на его биссектрисе.
Следствие (Свойство биссектрис треугольника). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
○Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через его середину и перпендикулярная к нему.
●Теорема (Свойство серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
*●Теорема (обратная к свойству серединного перпендикуляра к отрезку). Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
*Следствие (Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
73.
Теорема (Свойство высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
○Определение. Замечательными точками треугольника называются 4 точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).
§4. Вписанная и описанная окружности.
74.
○Определение. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все его стороны касаются этой окружности.
○Определение. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.
○Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
○Замечание. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
●Теорема (свойство описанного четырехугольника). В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
●Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
75.
○Определение. Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности.
○Определение. Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности.
○Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.
Замечание. Около четырехугольника не всегда можно вписать окружность.
●Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180.
●Теорема (признак описанного четырехугольника). Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180, то около него можно описать окружность.
○Теорема (признак ромба ( 696)). Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это - ромб.
○Теорема (свойство ромба ( 700)). В любой ромб можно вписать окружность.
○Теорема ( 697). Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на высоту.
○Теорема (признак прямоугольника ( 709)). Если около параллелограмма можно описать окружность, то это - прямоугольник.
○Теорема (признак равнобедренной трапеции( 710)). Если около трапеции можно описать окружность, то она - равнобедренная.