2.1 Решение двойственной задачи

Для нахождения оптимальных значений двойственных переменных воспользуемся теоремами двойственности:

1. Если в оптимальном решении прямой задачи условие выполняется как строгое неравенство, то соответствующая двойственная переменная равна нулю.

2. Если в единственном оптимальном решении прямой задачи условие выполняется как равенство, то соответствующая двойственная переменная положительна. Если решение не единственное, то такой однозначности нет.

Подставим оптимальные значения x₁^* = 2 и x₂^* = 4 в условия прямой задачи.

Первое условие: x₁ + x₂ ≤ 6

2 + 4 ≤ 6

6 = 6

Условие выполняется как равенство, следовательно, по теореме 2 соответствующая двойственная переменная положительная, то есть y₁^* > 0.

Второе условие: 2x₁ + x₂ ≤ 10

2 · 2 + 4 ≤ 10

8 < 10

Условие выполняется как строгое неравенство, следовательно, по теореме 1 соответствующая двойственная переменная равна нулю, то есть y₂^*= 0.

Третье условие: x₁ + 2x₂ ≤ 10

2 + 2 · 4  10

10 = 10

Условие выполняется как равенство, следовательно, y₃^* > 0.

Учитывая, что y₂^* = 0, перепишем систему условий:

y ₁^* + y₃^*  12,

y₁^* + 2y₃^*  15.

Заменим знаки неравенства на равенство и решим систему уравнений:

y ₁^* + y₃^* = 12,

y₁^* + 2y₃^* = 15.

В результате вычислений получим следующие оптимальные значения двойственных переменных:

y₁^* = 9,

y₂^* = 0,

y₃^* = 3.

Вычислим оптимальное значение критерия:

= 6 · 9 + 10 · 0 + 10 · 3 = 84

Оптимальные значения критериев прямой и двойственной задач совпали, что и подтверждает теорему двойственности: «Для любых оптимальных X^* и Y^* выполняется равенство: L(X^*) = (Y^*)».

Значения двойственных переменных можно найти также в последней симплекс-таблице в строке (-L) в столбцах начального базиса (x₃, x₄, x₅) с коэффициентом -1.

Глава 4 Экономико-математический анализ двойственных оценок. Определение пределов устойчивости двойственных оценок

4.1 Экономико-математический анализ двойственных оценок

Двойственные оценки соответствуют ресурсам:

y₁^* = 9 – двигателям,

y₂^* = 0 – фарам,

y₃^* = 3 – глушителям.

В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства:

1. Смысл значений двойственных оценок.

Увеличение количества двигателей на единицу позволит построить такой план выпуска продукции, при котором суммарная стоимость продукции увеличится на 9 денежных единиц, увеличение количества глушителей на единицу увеличит прибыль на 3 денежные единицы, а увеличение фар на единицу никак не повлияет на суммарную стоимость продукции.

2. Оценка дефицитности ресурсов.

Наиболее дефицитными будут двигатели (как имеющие наибольшую оценку), менее дефицитны глушители, а фары будут в избытке, так как y₂^* = 0. Избыточность ресурса можно определить, подставив значения x₁^* и x₂^* в условия прямой задачи: второе условие выполняется как строгое неравенство: 8 < 10, следовательно, в избытке 2 фары.

3. Заменяемость ресурсов. Определяется для ненулевых двойственных оценок.

В нашей задаче относительная заменяемость определяется соотношением:

9 : 3 = 3 : 1.

Если увеличить количество двигателей на единицу, то суммарная стоимость увеличится на 9 денежных единиц:

ΔL_max = 9 · 1 = 9

Если количество глушителей увеличить на 3 единицы, то суммарная стоимость также увеличиться на 9 денежных единиц:

ΔL_max = 3 · 3 = 9.

Таким образом, чтобы получить одинаковое увеличение значения критерия на 9 денежных единиц, нужно увеличить количество двигателей на одну единицу или количество глушителей на 3 единицы.

4. Оценка эффективности ввода в план новых изделий. Для этого вычисляется значение Δ_j по формуле:

Δ_j =  a_ijy_i^* - C_j,

где a_ij –количество ресурса каждого вида на единицу нового изделия;

y_i^* – двойственная оценка ресурса;

C_j – цена нового изделия.

Если Δ_j > 0, то новое изделие вводить невыгодно.

Если Δ_j < 0, то выгодно.

Если Δ_j = 0, то целесообразно.

Предприятие планирует выпуск тракторов. Расход ресурсов на один трактор: 1 двигатель, 2 фары и 0 глушителей. Предлагаемая цена за один трактор 8 и 10 денежных единиц.

Оценим выгодность выпуска трактора по цене 8 денежных единиц:

Δ_j = 1 · 9 + 2 · 0 + 0 · 3 – 8 = 1 > 0,

следовательно, трактор по цене 8 денежных единиц выпускать не выгодно.

Оценим выгодность выпуска трактора по цене 10 денежных единиц:

Δ_j = 1 · 9 + 2 · 0 + 0 · 3 – 10 = -1 < 0,

следовательно, трактор по цене 10 денежных единиц выпускать выгодно.

4. Сопоставление оценки затрат и прибыли.

Подставим значения двойственных оценок в условия двойственной задачи.

Первое условие (по машинам):

y₁ + 2y₂ + y₃  12

9 + 2 · 0 + 3  12

12 = 12

Второе условие (по мотоциклам):

y₁ + y₂ + 2y₃  15

9 + 0 + 2 · 3  15

15 = 15

Оба изделия выпускать экономически целесообразно, что и подтверждается оптимальным решением прямой задачи.