Рекурсія

1. ^п Описати рекурсивну функцію Fact(N) речовинного типу, що обчислює значення факторіала

N! = 1·2·…·N

(N > 0 — параметр цілого типу). За допомогою цієї функції обчислити факторіали п'яти даних чисел.

2. ^п Описати рекурсивну функцію Fact2(N) речовинні типи, що обчислює значення подвійного факторіала

N!! = N·(N–2)·(N–4)·…

(N > 0 — параметр цілого типу; останній співмножник у добутку дорівнює 2, якщо N — парне число, і 1, якщо N — непарне). За допомогою цієї функції обчислити подвійні факторіали п'яти даних чисел.

3. ^п Описати рекурсивну функцію Power(X, N) речовинного типу, що знаходить значення N-й ступеня числа X по формулах:

X ⁰ = 1, X ^N = (X ^{N/2) 2} при парних N > 0,        X ^N = X·X ^N–1 при непарних N > 0, X ^N = 1/X ^–N при N < 0

(X  0 — речовинне число, N — ціле; у формулі для парних N повинна використатися операція цілочисельного ділення). За допомогою цієї функції знайти значення X ^N для даного X при п'ятьох даних значеннях N.

4. ^п Описати рекурсивну функцію Fib1(N) цілого типу, що обчислює N-й елемент послідовності чисел Фібоначі (N — ціле число):

F₁ = F₂ = 1,        F_K = F_K–2 + F_K–1,    K = 3, 4, … ...

За допомогою цієї функції знайти п'ять чисел Фібоначі з даними номерами, і вивести ці числа разом з кількістю рекурсивних викликів функції Fib1, які знадобилися для їхнього знаходження.

5. ^п Описати рекурсивну функцію Fib2(N) цілі типу, що обчислює N-й елемент послідовності чисел Фібоначі (N — ціле число):

F₁ = F₂ = 1,        F_K = F_K–2 + F_K–1,    K = 3, 4, … ...

Уважати, що номер N не перевершує 20. Для зменшення кількості рекурсивних викликів у порівнянні з функцією Fib1 (див. завдання 4) створити допоміжний масив для зберігання вже обчислених чисел Фібоначі й звертатися до нього при виконанні функції Fib2. За допомогою функції Fib2 знайти п'ять чисел Фібоначі з даними номерами.

6. ^п Описати рекурсивну функцію Combin1(N, K) цілого типу, що знаходить C(N, K) — число сполучень із N елементів по K — за допомогою рекурентного співвідношення:

C(N, 0) = C(N, N) = 1, C(N, K) = C(N – 1, K) + C(N – 1, K – 1)    при 0 < K < N.

Параметри функції — цілі числа; N > 0, 0  K  N. Дано число N і п'ять різних значень K. Вивести числа C(N, K) разом з кількістю рекурсивних викликів функції Combin1, які знадобилися для їхнього знаходження.

7. ^п Описати рекурсивну функцію Combin2(N, K) цілі типу, що знаходить C(N, K) — число сполучень із N елементів по K — за допомогою рекурентного співвідношення:

C(N, 0) = C(N, N) = 1, C(N, K) = C(N – 1, K) + C(N – 1, K – 1)    при 0 < K < N.

Параметри функції — цілі числа; N > 0, 0  K  N. Уважати, що параметр N не перевершує 20. Для зменшення кількості рекурсивних викликів у порівнянні з функцією Combin1 (див. завдання Recur6) описати допоміжний двовимірний масив для зберігання вже обчислених чисел C(N, K) і звертатися до нього при виконанні функції Combin2. За допомогою функції Combin2 знайти числа C(N, K) для даного значення N і п'яти різних значень K.

8. ^п Описати рекурсивну функцію Root(X, K, N) речовинного типу, що знаходить наближене значення кореня K-й ступеня із числа X по формулі:

Y₀ = 1,        Y_N+1 = Y_N – (Y_N – X/(Y_N)^K–1)/K,

де Y_N позначає Root(X, K, N) при фіксованих X й K. Параметри функції: X (> 0) — речовинне число, K (> 1) і N (> 0) — цілі. За допомогою функції Root знайти для даного числа X наближені значення його кореня K-й ступеня при шести даних значеннях N.

9. ^п Описати рекурсивну функцію NOD(A, B) цілого типу, що знаходить найбільший загальний дільник (НОД) двох цілих позитивних чисел A й B, використовуючи алгоритм Евкліда:

НОД(A, B) = НОД(B, A mod B),    якщо B  0;        НОД(A, 0) = A.

За допомогою цієї функції знайти НОД(A, B), НОД(A, C), НОД(A, D), якщо дані числа A, B, C, D.

10. ^п Описати рекурсивну функцію DigitSum(K) цілого типу, що знаходить суму цифр цілого числа K, не використовуючи оператор циклу. За допомогою цієї функції знайти суми цифр для п'яти даних цілих чисел.

11. ^п Описати рекурсивну функцію MaxElem(A, N) цілого типу, що знаходить максимальний елемент цілочисельного масиву A розміру N (1  N  10), не використовуючи оператор циклу. За допомогою цієї функції знайти максимальні елементи масивів A, B, C розміру N_A, N_B, N_C відповідно.

12. ^п Описати рекурсивну функцію DigitCount(S) цілого типу, що знаходить кількість цифр у рядку S, не використовуючи оператор циклу. За допомогою цієї функції знайти кількість цифр у кожному з п'яти даних рядків.

13. ^п Описати рекурсивну функцію Palindrom(S) логічного типу, що повертає True, якщо рядок S є паліндромом (тобто  читається однаково ліворуч праворуч і праворуч ліворуч), і False у противному випадку. Оператор циклу в тілі функції не використати. Вивести значення функції Palindrom для п'яти даних рядків.