8.4 Кесте

Х±У
Р

және

8.5 Кесте

Х·У
Р

болады.

900. Екі тиынды лақтырғанда цифр жағының пайда болу саны х кездейсоқ шама. Оның үлестірім заңын табу керек.

Шешуі. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері Онда сәйкес ықтималдықтары , Осыдан

8.6 Кесте

Х	2	1	0
Р	0,25	0,5	0,25

Тексеру: 0,25+0,5+0,25=1. ▲

901. Тиынның “цифр” жағы түскенге дейінгі лақтыру саны кездейсоқ шама болсын. Үлестірім заңын табу керек.

Шешуі. Кезейсоқ шаманың қабылдайтын мәндері онда оның сәйкес ықтималдықтары

Осыдан

8.7 Кесте

Х	1	2	...	n
Р	1/2	1/22	...	1/2n

Тексеру. Бұл жағдайда, ықтималдықтарының қосындысы шексіз геометриялық прогрессияның қосындысы болып табылады, осыдан

▲

902. Мергеннің нысанаға тигізу ықтималдығы тең. Төрт рет атқанда нысанаға тию санының үлестірім заңын табу керек.

Шешуі. Х кездейсоқ шама. Нысанаға оқтың тию саны

Осыдан

8.8 Кесте

Х	0	1	2	3	4
Р	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401

Тексеру: 0,0081+0,0756+0,2646+0,4116=1. ▲

903. Дискретті кездейсоқ шамалардың

8.9 Кесте

Х	0	1
Р	0,4	0,6

8.10 Кесте

У	2	3
Р	0,3	0,7

үлестірім заңдары берілген. үлестірім заңдарын табу керек.

Шешуі.

8.11 Кесте

Х+У	0+2	0+3	1+2	1+3
р	0,12	0,28	0,18	0,42

немесе

8.12 Кесте

Х+У	2	3	4
р	0,12	0,46	0,42

Осы сияқты

8.13 Кесте

Х-У	-3	-2	-1
р	0,28	0,18	0,54

8.14 Кесте

Х·У	0	2	3
р	0,4	0,18	0,42

▲

2. Мода. Оқиғалар ағыны. Дискретті Х кездейсоқ шаманың М₀ модасы деп ықтималдығы ең үлкен болатын Х кездейсоқ шаманың мәнін айтады.

Мысалы, кездейсоқ шама биномды үлестірім заңымен берілсе, онда мода формуласынан табылады.

Кездейсоқ уақыт аралығында пайда болатын оқиғаларды қарастырайық. Оқиғалар ағыны деп уақыттың кездейсоқ бір мезгілде бірінен кейін бірі пайда болатын оқиғалар тізбегін айтамыз.

Мысалы, жедел жәрдем пунктіне автоматты телефон станциясына (АТС) түскен шақырулар, аэропортқа ұшақтың келуі, элементтердің бірінен кейін бірінің істен шығуы және т.б..

Егер: а) оқиғаның пайда болу ықтималдығы уақыт аралығының ұзақтығына байланысты;

ә) кез келген уақыт аралығындағы оқиғалар санының пайда болуының ықтималдығы, осы уақыт аралығына дейінгі оқиғалардың пайда болу санынан тәуелсіз;

б) екі немесе одан да көп оқиғалардың ықтималдықтары уақыт аралығы жеткілікті аз болғанша азая беретін болса, онда мұндай оқиғалар ағынын жай оқиғалар ағыны деп атайды.

t уақыт аралығында оқиғаның m рет пайда болу ықтималдығы

Пуассон формуласымен анықталады, мұндағы бірлік уақыт мөлшеріндегі оқиғаның пайда болу саны болып табылады.

904. АТС-ке бір минутта түскен шақырудың саны орта есеппен екіге тең. 5 минут ішінде: а) үш рет; ә) үштен кем; б) үштен кем емес шақырудың түсу ықтималдығын табу керек.

Шешуі. онда

а)

ә)

б) ▲

3. Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамасы. Үлестірім заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды, бірақ көп жағдайларда үлестірім заңы белгілі бола бермейді, сондықтан көп жағдайларда кездейсоқ шаманың “сандық сипаттамасы” деген ұғым пайдаланады. Оған математикалық үміт, диспресия және орташа квадраттық ауытқу жатады.

Математикалық үміт кездейсоқ шаманың орта мәнін сипаттайды.

Дискретті Х кездейсоқ шамасының математикалық үміті деп олардың мүмкін мәндерінің сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысын айтады және ол былай белгіленеді.

М а т е м а т и к а л ы қ ү м і т т і ң қ а с и е т т е р і.

1. тұрақты.

2.

3.

4.

Биномдық үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті

Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті

Кездейсоқ шаманың математикалық үмітімен қатар оның математикалық үміттен ауытқуын бағалайтын сандық сипаттамалар дисперсия және орташа квадраттық ауытқу болып табылады.

Дискретті Х кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп кездейсоқ шаманың математикалық үмітінен ауытқуының квадратының математикалық үмітін айтамыз және оны былай белгілейміз:

Дисперсияны есептеудегі жеңіл формуласы

Д и с п е р с и я н ы ң қ а с и е т т е р і:

1.

2. тұрақты.

3.

4.

Биномдық үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Пуассон үлестірім заңымен берілген кездейсоқ шаманың дисперсиясы

Дискретті Х кездейсоқ шаманың орташа квадраттық ауытқуы:

905. Кездейсоқ шаманың