7.4 Фурье қатары

1. периодты функцияның Фурье қатары. сегметінде анықталған, периоды болатын функциясының Фурье қатары деп

қатарын айтады, мұндағы

- Фурье қатарының коэффициенттері деп аталады.

Егер Фурье қатары жинақты болса, онда оның қосындысы периоды болатын функция болады.

Дирихле теоремасы: функциясы -де экстремум мәндерінің саны ақырлы және бірінші текті үзілісті нүктелерінен басқа нүктелерінде үзіліссіз болсын. Пайда болған қатардың қосындысы үзіліссіз болатын нүктелерінде функциясының мәніне, яғни ал үзілісті нүктелерінде берілген функцияның оң жақ және сол жақ шектерінің арифметикалық ортасына, яғни

нүктесінде тең болады.

Е с к е р т у. Интеграл есептеу кезінде, оның мынадай қасиеттерін пайдалану керек:

Егер функциясы жұп болса, онда

Егер функциясы тақ болса, онда

Сонымен қатар .

710. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі. Фурье қатарының коэффициенттерін табайық.

Олай болса,

▲

711. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі.

Егер деп алсақ, онда

Егер функциясы тақ болса, яғни онда Фурье коэффициенттері

Ал егер функциясы жұп болса, яғни онда Фурье коэффициенттерін

формулаларымен есептеуге болады. ▲

712. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек.

Шешуі. Жұп функция болғандықтан,

Осыдан

Периоды болатын функциясы аралығында Фурье қатарына жіктелсе, мұндағы а кез келген сан, онда оның коэффициенттері

формулаларымен табылады.

713. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеңіз.

Шешуі. Бұл жағдайда

Осыдан ▲

2. 2l -периодты функцияның Фурье қатары. Егер периоды болатын функциясы сегментінде берілсе, мұндағы кез келген сан, онда Дирихле теоремасының шарттары осы сегментте орындалғанда, функциясын Фурье қатарына жіктеуге болады.

мұндағы

Егер функциясы жұп болса, онда

.

Егер функциясы тақ болса, онда

Егер функциясы аралығында берілсе, онда осы функцияны аралығында Фурье қатарына жіктеу үшін, оны аралығында Дирихле теоремасының шарттарын қанағаттандыратын кез келген функциямен жалғастыруға болады.

Егер аралығында функциясын қарастырсақ, онда бұл жағдайда тақ функция болады, олай болса Фурье қатарына «синус» бойынша жіктеледі деп аталады.

Егер аралығында функциясын алсақ, онда бұл жағдайда жұп функция болады және Фурье қатарына «косинус» бойынша жіктеледі деп аталаймыз.

714. аралығында функциясын Фурье қатарына жіктеңіз.

Шешуі.

Осыдан ▲

715. аралығында функциясы берілсін, ал аралығында осы функциясының әр түрлі жағдайларын қарастырып, оны Фурье қатарларына жіктеу керек:

а)

ә)

б)

Шешуі. а) аралығында болсын.

Осыдан

ә) аралығында болсын, яғни функция тақ, олай болса, Фурье қатарына «синус» бойынша жіктейміз. Бұл жағдайда

Осыдан

б) аралығында болсын, яғни функция жұп, олай болса, Фурье қатарына «косинус» бойынша жіктейміз. Бұл жағдайда

Егер деп белгілесек, онда ▲

Берілген интегралда функцияларды Фурье қатарына жіктеу керек.

716. Ж: .

717. Ж: .

718. Ж: .

719. Ж: .

720. дербес жағдайын қарастыру керек:

а) ә) б) в)

Ж: .

721. дербес жағдайын қарастыру керек:

а) ә) б) в)

Ж: .

722. Ж: .

723. Ж: .

724. Ж: .

725. Ж: .

726. Ж: .

727. Ж: .

728. Ж: .

729. Ж: .

730. Ж: .

731. Ж: .

732. Ж: а) .

733. Ж: .

734. жарты периодында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек:

а) синус бойынша; ә) косинус бойынша.

Ж: а) , ә) .

735. жарты периодында функциясын Фурье қатарына жіктеу керек:

а) синус бойынша; ә) косинус бойынша.

Ж: а) , ә) .

736. жарты периодында функциясын синус бойынша Фурье қатарына жіктеу керек. Ж: .

737. жарты периодында функциясын косинус бойынша Фурье қатарына жіктеу керек. Ж: .