7.2 Функциялық қатарлар
1. Функциялық қатарлар. Мүшелері нақты х айнымалысының функциясы болатын
қатарын функциялық қатар дейді.
функциялары
анықталған және
қатары жинақты болатын х
айнымалының мәндер жиыны функциялық
қатардың жинақталу
облысы делінеді.
Функциялық қатардың
жинақталу облысы Ох
осінің қандай да бір аралығы болады.
Алғашқы
n мүшелерінің қосындысы
болса, онда
Мұндағы
берілген қатардың мүшелерінің
қалдығы деп аталады.
2.
Дәрежелік қатарлар.
түрінде
берілген функциялық қатар дәрежелік
қатар деп аталады.
Мұндағы
- нақты сандар.
А
б е л ь т е о р е м а с ы. 1. Егер дәрежелік
қатар
болғанда жинақты болса, онда
теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір
х үшін
де қатар жинақты болады.
2.
Егер дәрежелік қатар
болғанда жинақсыз болса, онда
теңсіздігін қанағаттандыратын әрбір
х үшін де қатар жинақсыз болады.
Абель
теоремасынан мынадай тұжырым жасауға
болады: Кез келген дәрежелік қатардың
жинақты облысы ретінде
интервалы алынады. Мұндағы R-жинақты
радиусы, ал
жинақты интервалы
деп аталады.
нүктелерінде
қатардың жинақтылығын тексеру үшін
дәрежелік қатарға
мәндерін қойғанда пайда болатын сандық
қатардың тексеру жеткілікті.
Егер
болса, онда дәрежелік қатар тек
нүктесінде жинақты болады.
Егер
болса, онда дәрежелік қатар х-тің кез
келген мәнінде жинақты болады.
Дәрежелік
қатардың жинақты радиусы
немесе
формулаларымен есептеледі.
Жинақты интервалында дәрежелік қатарды кез келген рет мүшелеп дифференциалдауға және интегралдауға болады.
604.
қатарының жинақты облысын табу керек.
Шешуі.
болса, онда қатар жинақты, ал
болса,онда қатар жинақсыз болады (Дирихле
қатарын қараңыз). ▲
605.
қатарының жинақты облысын табу керек.
Шешуі.
қажетті белгісі орындалады.
болсын. Жалпы мүшесі
болатын гармоникалық (жинақсыз) қатарын
қарастырсақ, онда
Олай болса, екінші салыстырмалы белгі
бойынша берілген қатар жинақсыз.
Егер
болса, енді берілген қатардың мүшелері
шексіз кемімелі геометриялық
прогрессиясының
мүшелерінен кіші болады, яғни берілген
қатар жинақты. Сонымен қатар,
болғанда жинақты, ал
болса, жинақсыз болады. ▲
606.
қатарының жинақты облысын табу керек.
Шешуі.
яғни
жинақты облысы болады. Енді интервалдың
шекаралық нүктелерінде қатардың
жинақтылығын зерттейік:
болса,
онда
қатар жинақсыз (Дирхле қатары).
болса,
онда
қатар жинақты, себебі
және
Лейбниц белгісі орындалады. ▲
607.
қатарының жинақты облысын табу керек.
Шешуі.
жинақты
облысы
болады. Енді интервалдың шекараларының
нүктелерінде қатардың жинақтылығын
зерттейік:
болсын.
қатарын тексерейік. Қажетті белгісі
ал жеткілікті белгісі бойынша
олай
болса, қатар жинақты.
Енді
мәнінде қатардың жинақтылығын зерттейік:
Бұл қатар жинақты, себебі мүшелерінің
абсолют мәндері бойынша алынған қатар
жинақты. Олай болса, жауабы:
▲
608.
қатарының жинақты облысын анықтау
керек.
Шешуі.
олай болса, қатар тек
мәнінде ғана жинақты. ▲
609.
қатарының жинақты облысын анықтау
керек.
Шешуі.
олай болса, қатар х-тің кез келген мәнінде
жинақты, яғни
▲
610.
қатарының жинақты облысын анықтау
керек.
Шешуі.
жинақты облысы
болады. Енді интервалды шекараларының
мәндерінде қатардың жинақтылығын
зерттейік:
болсын.
қатарын қарастырайық. Бұл қатар жинақты
(Дирихле қатары,
).
болсын.
қатары абсолют жинақты болады, себебі
мүшелерінің абсолют мәндері бойынша
алынған қатар жинақты. Олай болса,
жауабы:
▲
611.
қатарының жинақты облысын анықтау
керек.
Шешуі.
жинақты облысы
болады.
болғанда
қатар, ал
болғанда
қатар жинақсыз болады.
Сондықтан
жауабы
▲
612.
қатарының жинақты облысын табу керек.
Шешуі.
олай болса,
немесе
болғанда
қатары жинақсыз болады.
болғанда
қатары жинақты болады. Себебі Лейбниц
белгісі бойынша
Олай
болса,
▲
613.
Шешуі.
олай болса,
болғанда
қатары жинақсыз, себебі
болғанда
қатары да жинақсыз.
Сондықтан,
жауабы:
▲
614.
қатарының қосындысын
қатарының мүшелерін дифференциалдау
арқылы табу керек.
Шешуі.
Шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның
қосындысының формуласын
қолдансақ, онда
Енді
дифференциалдасақ, онда
болады. ▲
615.
қатарының қосындысын табу керек.
Шешуі.
Берілген қатарды дифференциалдағанда
пайда болған қатар шексіз геометриялық
прогрессия болғандықтан,
болады.
Мұндағы
Енді О-ден х аралығында интегралдасақ,
онда
▲
Функциялық қатарлардың жинақты облысын табу керек.
616.
Ж:
абс.жинақты,
жинақсыз.
617.
Ж:
.
618.
Ж:
619.
Ж:
620.
Ж:
621.
Ж:
622.
Ж:
623.
Ж:
(-5;
5).
Дәрежелік қатардың жинақты облысын табу керек.
624.
Ж:
(-3;
3). 625.
Ж:
.
626.
Ж:
. 627.
Ж:
.
628.
Ж:
629.
Ж:
630.
Ж:
631.
Ж:
632.
Ж:
633.
Ж:
634.
Ж:
635.
Ж:
.
636.
Ж:
637.
Ж:
638.
Ж:
639.
Ж:
640.
Ж:
641.
Ж:
642.
Ж:
643.
Ж:
644.
Ж:
645.
Ж:
646.
Ж:
647.
Ж:
Қатардың қосындысын табу керек.
648.
Ж:
649.
Ж:
650.
Ж:
651.
Ж:
652.
Ж:
653.
Ж:
