Правила суми і добутку

Правило суми. Якщо множина М — це об'єднання множин М₁, М₂, М₃, ..., М_k, які не перетинаються попарно, тоді кількість елементів множини зв'язані співвідношенням |М| = |М₁| + ... + |M_к|.

Тут |М| — кількість елементів множини М.

Нехай предмет а₁ можна обрати т₁ способами, предмет а₂ — т₂ способами, ..., предмет а_к — т_к способами. Тоді вибір предмета а₁ або а₂, ..., або а_к може бути зроблений т₁ + т₂ + ... + т_к способами.

Підкреслимо, що тут сполучник «або» вживається у розділовому вмісті, тобто вибір а_i, виключає вибір будь-якого іншого предмета.

Приклад 1. З міста А у місто В вирушають 10 потягів, 5 літаків і 3 автобуси. Скількома способами одній людині можна дістатися з А до В?

За правилом суми всього існує 10 + 5 + 3 = 18 способів.

Правило добутку. Якщо М₁, М₂, М₃, ..., М_к — скінченні множини і

М = М₁ х М₂ х ... х М_к — їх декартів добуток, то

|М| = | М₁ х М₂ х ... х М_к | = |М₁| • |М₂| • ... • |М_к|.

Нехай предмет а₁ можна обрати т₁ способами, предмет а₂ — т₂ способами, ..., предмет а_к — т_к способами і нехай вибір предмета а₁ не впливає на кількість способів вибору предметів а₂, ..., а_к; вибір предмета а₂ не впливає на кількість способів вибору предметів а₁, а₃, ..., а_к і т.д. Тоді вибір упорядкованої множини предметів (а₁, а₂, ..., а_к) у вказаному порядку можна здійснити т₁ ∙т₂∙ ... ∙т_к способами.

Приклад 2. Є 17 парубків і 21 дівчина. Скільки танцювальних пар вони можуть утворити?

Спочатку оберемо парубка — це можна зробити 17 способами, після цього кожний парубок обере собі партнершу (21 спосіб). За правилом добутку вибір упорядкованої множини танцювальних пар (парубок, дівчина) складає

17 ∙ 21 = 357 пар.

Складний вибір предметів

Часто у комбінаторних задачах вибір предметів здійснюється у кілька етапів, причому в деяких з них виконуються умови, за яких діють правила суми, в інших — правило добутку. Взагалі «складовий», «складний» вибір предметів, який здійснюється шляхом послідовного вибору «простих» предметів, у практичних задачах зустрічається досить часто. Зручним засобом аналізу можливостей і перебору випадків вибору є побудова кореневого дерева — кожній послідовності можливих виборів відповідає шлях, який спрямований від кореня Х₀ до кінцевих вершин дерева. Кінець будь-якої з дуг першого рівня відповідає можливому результату вибору першого рівня і т. д. Таким чином, дерево будується рівень за рівнем, поки не будуть вичерпані всі можливості вибору в послідовності, яка розглядається. Кінець кожної дуги k-рівня дерева відповідає єдиній послідовності результатів перших k виборів.

Приклад 3. Код Морзе. Скільки різних символів може бути записано кодом Морзе (•, -), якщо для їх запису використовується не більше п'яти знаків?

Існує п'ять способів вибору довжини символу: 1, 2, 3, 4 або 5 знаків. Із кореня Х₀ вийдуть 5 дуг: Х₀Х₁, Х₀Х₂, Х₀Х₃, Х₀Х₄, Х₀Х₅.

При довжині коду 1 існують 2 символи • і -, тому з вершини Х₁ відповідно вибору довжини символу, який дорівнює 1, проводимо дві дуги: Х₁Х₁₁ і Х₁Х₁₂.

При довжині коду, яка дорівнює 2, існують 4 символи: • •, • -, - •, - -; з вершини Х₂ проводимо 4 дуги: Х₂Х₂₁, Х₂Х₂₂, Х₂Х₂₃, Х₂Х₂₄.

При довжині коду, яка дорівнює 3, маємо 8 символів: • • •, • • -, • - •, - • •, • - -, - • -, - - •, - - -. Отже, з вершини Х₃ проводимо 8 дуг: Х₃Х₃₁, Х₃Х₃₂, Х₃Х₃₃, Х₃Х_34, Х₃Х₃₅, Х₃Х₃₆, Х₃Х₃₇, Х₃Х₃₈. Аналогічно 16 символів довжини 4 і 32 символи довжини 5. Загальна кількість кінцевих вершин дорівнює 2+4+8+16+32 = 62. Це і є шукане число символів.