Деякі класичні задачі комбінаторики

Магічний квадрат. «Розмістити числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 у вигляді квадрату так, щоб сума чисел будь-якого із стовпців, рядків і діагоналей була однією й тією ж».

Магічний квадрат 3-го порядку було зображено раніше. Більш складна задача — побудова магічних квадратів 4-го порядку; доведена можливість побудови всього 880 типів таких квадратів. Існують алгоритми побудови квадратів вищих порядків і магічних кубів.

Шахові задачі. Добре відома задача про ферзі: «Поставити на шахову дошку найбільшу кількість ферзів таким чином, щоб жоден з них не зміг взяти іншого».

Р озв'язок тут досить очевидний — більше 8 ферзів на дошку поставить не вдається. Оскільки ферзь б'є по горизонталі, вертикалі і діагоналі шахової дошки розміром 8x8 кліток, то більше 8 ферзів поставити неможливо, задачу можна розв'язати прямим перебором варіантів, і виявиться, що вісім ферзів можна розмістити таким чином, причому всього є 92 варіанти такого розміщення. Один з варіантів як приклад наведено на рис. В загальноприйнятих позначеннях шахових вертикалей і горизонталей вказаний варіант розміщення ферзів записується так:

(а, 6), (&, 3), (с, 5), (d, 8), (е₉ 1), (Д 4), (g, 2), (А, 7).

Наведемо ще один припустимий варіант розміщення:

(а, 6), (&, 1), (с, 5), (d, 2), (є, 8), (Д 3), (g, 7), (Л, 4).

Розміщення ферзів таким чином, що жоден з них не може взяти іншого наведено на рис.

На дошці розміром п х п, де число п не повинне ділитися ані на 2, ані на 3, можна поставить по п ферзів п різноманітних кольорів таким чином, щоб ферзі одного кольору не били один одного.

Якщо розмістити шахових коней, то виявиться, що будь-який з них на дошці розміром 2x4 може бити тільки одну клітку і на цій дошці можна розмістити тільки чотирьох коней, які не б'ють один одного. На дошці 8 x 8 можна таким чином поставити тільки 8 ∙ 4 = 32 коня, оскільки дошка розміром

8 X8 кліток розбивається на вісім полів розміром 2 X 4. На дошці розміром п х п можна поставити ( n∙п)/2 коней, що не б'ють один одного, якщо п парне, і

(п∙ п + 1)/2 коней, якщо п непарне.

Латинські квадрати і блок-схеми. Квадрат розміром п рядків і п стовпців, складений з п літер таким чином, щоб кожна буква входила лише один раз у кожний стовпець і кожний рядок, називають латинським. Нижче зображено латинський квадрат розміром 4x4.

А В С D

В A D С

С D А В

D С В А Латинський квадрат 4x4

Якщо два латинських квадрати «накласти* один на один таким чином, щоб кожна пара букв (велика і маленька) А, В, С, D і а, b, с, d зустрілися тільки один раз, то такі квадрати називають ортогональними.

Ортогональний латинський квадрат розміром 4x4 зображено нижче

Аb Dd Ba Сс

Bc Ca Ad Db

Cd Bb Dc Aa

Da Ac Cb Bd . Пара ортогональних латинських квадратів

Першим задачу про ортогональні латинські квадрати розглянув Л. Ейлер (задача про «офіцерське каре»). Ця задача не має розв'язку при п = 2 і п = 6.

Теорема про представників

Нехай у деякій множині X виділені підмножини Х₁ Х₂, ..., Х_п.

Для того, щоб у X можна було обрати п різних елеменmiв-представників а₁, а₂, ..., а_п, таких, що а₁ є Х₁, а₂ є Х₂, ..., а_п є Х_п, необхідно і достатньо виконання такої умови: для кожного значення k = 1, 2, ..., п-1 об'єднання будь-яких k обраних підмножин X повинне містити, щонайменше, k неоднакових елементів.

Сформульована теорема про представників була доведена Ф. Холлом. Сама проблема пошуку представників має інші назви або тлумачення. Наприклад, назва «задача про селянські весілля» виникло тому, що Герман Вейль вперше сформулював подібну задачу у декілька жартівливому тоні: «В селі відносно кожного парубка і дівчини відомо, дружать вони чи ні. Якщо для будь-яких k парубків об'єднання множин їх подруг містить, щонайменше, k дівчат, то кожний парубок може обрати собі дружину з числа своїх подруг». Тут X— множина всіх дівчат; Х₁ Х₂, ..., Х_п — підмножини, які складаються з подруг першого, другого, ..., п-го парубка. Доводять цю теорему методом математичної індукції за кількістю парубків.

Зауважимо, що Ф. Холл довів справедливість теореми про різних представників для будь-якої системи підмножин Х₁, Х₂, ..., Х_п множини X, яка може містити і нескінченне число елементів. Остаточній варіант теореми Ф. Холла еквівалентний теоремі Д. Кеніга про матриці (будь-яка з теорем легко виводиться одна з одної). Теорема Кеніга стосується бульових матриць, які зустрічаються у логіці, цілочисловому програмуванні, в теорії графів і мереж. Будь-який стовпець або рядок матриці називаються її «лінією».

Теорема Д. Кеніга (про матриці). Нехай елементи прямокутної матриці складаються із нулів та одиниць. Мінімальне число ліній, які містять всі одиниці матриці, дорівнює максимальному числу q таких одиниць у матриці, серед яких не існує двох розміщених на одній лінії.

Кожна підмножина з q одиниць матриці із вказаною властивістю назвемо базисною множиною одиниць. Розглянемо приклади бульових матриць:

, .

У матриці А базисна множина одиниць позначена зірочками, вона єдина. Число q дорівнює двом, а мінімальна множина ліній, які містять всі одиниці А, не одна. Власне, існує 4 мінімальних множини ліній:

{рядок 2, рядок 1}, {стовпець 2, стовпець 3},

{рядок 1, стовпець 3}, {рядок 2, стовпець 2}.

У матриці В число q дорівнює трьом. Мінімальна множина ліній, які містять всі одиниці, одна:

{стовпець 1, стовпець 2, рядок 3}.

Базисна множина одиниць позначена зірочками, але вона не одна.