Комбінаторика Вступ

Комбінаторика або комбінаторний аналіз — розділ дискретної математики, яка вивчає комбінації і перестановку предметів, взаємне розташування частин скінченних множин предметів довільного походження, а також нескінченних множин, які задовольняють деякі умови підпорядкованості. Виникла комбінаторика у XVII ст. Але у самостійну наукову дисципліну комбінаторний аналіз сформувався лише у XX ст. Комбінаторні методи застосовуються в теорії ймовірностей, випадкових процесах, статистиці, математичному програмуванні, плануванні експериментів. Розглядаються задачі, в яких доводиться обирати ті чи інші предмети, розташовувати їх у певному порядку і знаходити серед різноманітних комбінацій найкращі. Комбінаторика тісно зв'язана з теоріями чисел, графів, скінченних автоматів. її досягнення використовуються під час планування та аналізу наукових експериментів, у лінійному та динамічному програмуванні, у математичній економіці, у системах проектування та керування, у комп'ютерних науках та інших галузях науки і техніки.

Виділяють такі проблеми комбінаторного аналізу:

1) Задачі на перелічення, в яких необхідно визначити кількість розміщень елементів скінченної множини, що задовольняють певні умови. Для розв'язку задач перелічення розроблено різноманітні методи, серед яких слід відзначити метод продуктивних функцій і метод перелічення Пойа.

2. Задачі про існування та побудову. В задачах такого класу розглядаються питання: чи має місце визначена конфігурація частин скінченної множини з деякими властивостями; якщо така конфігурація існує, то як її побудувати. При цьому важливу роль відіграють чисельні та алгебраїчні методи.

3. Задачі про вибір. Задачі такого типу досліджують умови, за яких можна здійснити вибір підмножини або деякої сукупності частин множини так, щоб задовольнити певні вимоги. Для розв'язку задач про вибір, крім комбінаторних методів, треба застосовувати алгебраїчний апарат.

Історія розвитку комбінаторики

Китайські рукописи 12 - 13 ст. до н. є. описували навколишню дійсність як об'єднання двох початків — чоловічого і жіночого. Вісім рисунків з трьох рядів символів зображували землю, гори, воду та інші стихії — сума перших восьми натуральних чисел (36) утілювала Всесвіт.

Легенда про китайського імператора Ію, який жив 4000 років тому, розповідає: існувала священна черепаха, на панцирі якої був зображений рисунок, що містив дев'ять чисел

4 9 2

3 5 7

8 1 6 Магічний квадрат

Додавши числа у рядках, стовпцях або діагоналях магічного квадрату, одержимо одне й те ж число — 15.

Конкретні комбінаторні задачі, які стосувалися переліку предметів або невеликих їх груп, стародавні греки розв'язували без помилок.

Існують суміжні задачі між комбінаторикою та теорією чисел. Старогрецькі філософи запропонували поняття «квадрату числа» — квадрати натуральних чисел зображувалися камінцями, як зображено нижче.

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Зображення квадратів чисел

За допомогою комбінацій предметів та обчислення кількості таких комбінацій було одержано числа, які дорівнюють сумі своїх дільників, наприклад, 6=1 + 2 + 3; «дружні числа», кожне з яких дорівнює сумі дільників деякого іншого числа.

Великий розвиток у середні віки в Європі та Азії одержали різноманітні числові забобони і тлумачення, зв'язані із заміною букв відповідними числами (греки позначали числа за допомогою букв — перші 9 літер алфавіту позначали цифри від 1 до 9, наступні за ними — від 10 до 90, а останні 9 літер — числа від 100 до 900). В середні віки вчені, які називалися кабалістами, піддавали такому «аналізу» слова Біблії та інших священних книг і робили на підставі своїх досліджень пророцтва про майбутнє світу. Особливо виділялися чортова дюжина— число 13, комбінації цього числа з днями тижня та астрономічними явищами — затьмареннями або появою комет; число диявола — 666.

Поряд з кабалістами і містиками комбінаторикою у середньовіччі займалися астрологи.

Астрологія — наука, яка вивчає об'єднання планет і їх взаєморозташування між собою, — також дала поштовх для формулювання і розв'язку класичних комбінаторних задач. Астрологів цікавило питання про рух планет і їх вплив на долю людини. Особливе значення приділяли вони об'єднанням планет — зустрічам різних планет в одному знаку Зодіаку.

Астролог Бен Езра (1140 р. н. є.) підрахував кількість сполучень семи планет по дві, по три і т. д. Виявилося

де — число сполучень з п різних предметів по k.

Остаточно формулу числа сполучень одержав Леві Бен Герман у 14 ст.:

.

На початку 17 ст. цю формулу заново вивів французький математик П. Ерігон.

Велику увагу класифікації видів суджень приділяла схоластична наука. У схоластиці дивно перепліталися дослідження богословів з дослідженнями проблем, які примикають до комбінаторики, математичної логіки, теорії множин та інших сучасних розділів математики. Великими знавцями схоластичних досліджень були засновники теорії множин — Бернард Больцано та Георг Кантор. Сперечаючись про взаємовідношення членів пресвятої трійці, супідрядності ангелів, архангелів, херувимів та серафимів, схоласти були змушені розглядати різноманітні відношення порядків та ієрархії. Наприклад, загробний світ, що описаний Данте у «Божественній комедії», з його колами пекла і різними частинами чистилища і раю.

Схоласт Раймонд Лулій створив у 13 ст. машину, складену з кількох кіл, на яких були нанесені основні предикати, суб'єкти, атрибути та інші поняття схоластичної логіки. Повертаючи ці кола, він одержував різноманітні об'єднання понять і сподівався знайти з їх допомогою істину.

Розв'язуючи питання про добуток коренів будь-якого степеня, арабські алгебраїсти дійшли до формули для степеня суми двох чисел, відомою під назвою «біном Ньютона». Напевне, цю формулу знав поет и математик Омар Хайям, який жив у 11 - 12 ст. н. е. В 13 – 15 ст. н. є. таку формулу наводять у своїх роботах деякі арабські вчені.

Італієць Леонардо Ліванський, на прізвисько Фібоначчі, у своїй книзі «Liber Abaci», що видана у 1202 p., систематизував всю арифметику арабів, деякі відомості з геометрії Евкліда і додав до них результати своїх досліджень. Робота Фібоначчі містила і нові комбінаторні задачі, наприклад, про знаходження найменшої кількості гир, за допомогою яких можна одержати будь-яку цілу вагу від 1 до 40 фунтів. Розглядав Леонардо і знаходження цілих розв'язків рівнянь. Далі аналогічні задачі призвели до розв'язку задачі про кількість натуральних роз­в'язків систем рівнянь та нерівностей, яка може розглядатися як одна з фундаментальних частин комбінаторики.

Але головною заслугою Леонардо перед комбінаторикою було те, що він сформулював та розв'язав «задачу про кроликів». Ще за часів грецьких математиків були відомі дві послідовності, кожний член яких одержувався за визначеними правилами з попередніх членів — арифметична та геометрична прогресії. В задачі Леонардо з'явилася нова послідовність, кожний член якої (починаючи з третього) дорівнює сумі двох попередніх членів: и_п = и_n-1 + и_п-2. Подібні формули одержали назву рекурентних (від латинського recurrere — повертатися). Метод рекурентних формул виявився з часом одним з найпотужніших для розв'язку комбінаторних задач.

Нарди, шашки, шахи, японські облавні шашки «го» — в цих іграх треба розглядати різноманітні з'єднання пересувних фігур, і перемагає той, хто їх краще вивчить, прорахує виграшні комбінації та уникне програшних.

Чималий поштовх до розвитку комбінаторики дали азартні ігри, які існували дуже давно, але одержали особливе поширення після хрестових походів. Найбільше поширення одержала гра у кісті.

Роботи Блеза Паскаля і Пьера Ферма (Франція, 17 ст.) поклали початок комбінаторної (дискретної) теорії ймовірностей. В 1666 р. Готфрид Вільгельм Лейбниць запропонував фундаментальні поняття комбінаторики. До області комбінаторики Лейбниць відносив і «універсальну характеристику» — математику суджень, тобто прообраз математичної логіки.

Після робіт Паскаля та Ферма, Лейбниця та Л. Ейлера можна було вже говорити про комбінаторику як про самостійну частину математики, тісно пов'язану з іншими розділами науки, як теорія ймовірностей, вчення про ряди і т. п. Наприкінці 18 ст. німецький вчений Гінденбург і його учні зробили навіть спробу вибудувати загальну теорію комбінаторного аналізу.

В 19 ст. під час дослідження з комбінаторики почали простежуватися зв'язки цієї теорії з визначниками, скінченними геометріями, групами, математичною логікою і т. д.

Однією з найбільш складних загадок у біології 20 ст. була будова «нитей життя» — молекул білка і нуклеїнових кислот. Виявилося, що молекули білка — це об'єднання кількох дов­гих ланцюгів, що складені з 20 амінокислот. Після відкриття будови ДНК виникло питання: яким чином молекули ДНК передають організму інструкції про побудову ланцюгів аміно­кислот, з яких складаються білки. Дослідження показали, що мова йде про 20 амінокислот. Американський фізик Г. Гамов сформулював задачу так: як за допомогою 4 видів нуклеотидів можна зашифрувати 20 видів амінокислот? Ця задача, як і багато інших задач генетики, має комбінаторний зміст і, зокрема, зв'язана з таким розділом комбінаторики, як кодування.

Криптографія — наука про шифрування — була відома з давніх часів; одна з областей криптографії — розшифровка письмен (текстів) древніх цивілізацій. Ключ до прочитання ієрогліфів, загублений кілька тисячоліть тому, було знову знайдено саме завдяки комбінаторним методам у читанні забутих письменностей, заснованих на спостереженнях за текстом, на зіставленні повторюваності комбінацій слів і граматичних форм. Також потрібний аналіз призначення надпису, часу та умов його складення і т. д. Типовий приклад з цієї області надає історія розшифровки клинописних надписів.