Лабораторная работа 6. Теория игр. Игры с природой. Цель: освоить методы решения игр с природой. Получить представление о следующих понятиях и методах:

• Элементы теории статистических решений.

• Характерные особенности игр с природой.

• Платежная матрица и матрица рисков.

• Критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и др.

Теоретические сведения. Базовые понятия

На практике часто встречаются игровые ситуации, когда один из противников не оказывает сознательного противодействия, а неопределенность является следствием недостатка информации. К таким игрокам относятся так называемые «игры с природой». Они исследуются методами теории статистических решений.

«Игру с природой» можно описать с помощью матрицы:

, (6.1)

где: А _i - возможные варианты решения эксперта (игрок А) ;

Пj - возможные варианты состояния природы (игрок В) ;

 доход (выигрыш) игрока А, если эксперт принимает решение А_i, а природа окажется в состоянии П_j. Наряду с платежной матрицей , при исследовании «игр с природой» используют матрицу рисков:

R= (6.2)

где: , где , .

Метод решения задачи зависит от того, какая функция берется в качестве критерия, что, в свою очередь, зависит от того, насколько эксперт информирован о поведении природы.

Случай1. Вероятности p_j природы известны хорошо.

1. При критерии среднего выигрыша (математического ожидания выигрыша) в качестве оптимальной берется стратегия, которая максимизирует средний выигрыш игрока А:

Р ( А _i ) = (6.3)

2. Критерий среднего риска, равносильный критерий Р(А_i), имеет вид

R ( A_i )= (6.4)

Cлучай2. Вероятности состояний природы неизвестны, но есть основания считать, что все вероятности состояний природы приблизительно одинаковы.

3. Критерий Лапласа получают из критерия среднего выигрыша, если информация о p_j очень скудна и предполагается самое простое, что вероятности всех состояний природы равны между собой. Тогда

L (А_i) = . (6.5)

Случай3. Вероятности состояний природы неизвестны.

4. Критерий Вальда - критерий крайнего пессимизма - имеет вид:

W(A_i) = (6.24)

В пессимистических критериях природа рассматривается как активно противоборствующий противник.

5. Критерий Сэвиджа (также пессимистический) отличается критерия Вальда тем, что вместо матрицы платежей берется матрица рисков:

S ( A_i) = (6.25)

6. Критерий крайнего оптимизма представляется в виде

О(A _i) = (6.26)

7. Критерий Гурвица отражает компромисс между W(A_i) и O(A_i):

(6.27)

где k – коэффициент, отражающий долю оптимизма. Его значения лежат в интервале [0;1], т.е. . Коэффициент k выбирается по субъективным соображениям: чем более сложная ситуация необходимо застраховаться, тем ближе k к единице. При k =1 имеем критерий Вальда, при k=0  критерий крайнего оптимизма.

Для игр с природой, аналогично парным играм, вводится понятие доминирования одной стратегии над другой. Говорят, что k-я строка матрицы доминирует l-ю строку, если a _kj a _lj и a_kj > a_lj, хотя бы для одного j_. Стратегию соответствующую доминируемой строке можно не рассматривать (вычеркнуть из платежной матрицы), поскольку она заведомо не выгодна.

Ниже на примерах, будет показано, что решение, принимаемое в условиях неопределенности, существенно зависит от выбранного критерия. Возникает вопрос о применимости того или иного критерия. Этот вопрос является сложной проблемой и заслуживает отдельного исследования. Общие рекомендации: решение следует принимать с учетом практического опыта и традиций в данной предметной области. При принятии ответственных и разовых решений следует использовать критерии Вальда и Севиджа. При принятии решений в ситуациях, которые часто повторяются целесообразно применение критерия Гурвица и вероятностных критериев (математического ожидания выигрыша, критерия Лапласа и др.).