6.Классификация информационных сигналов. Сигналы. Модели процессов, аналитически представляющих сигнал. Аналитическое описание сигналов.

Результаты обработки информации существенно зависят от выбора рациональной модели анализируемого сигнала.

В зависимости от априорной информации о сигналах используются либо детерминированные, либо стохастические модели. Первые модели сигналов выражаются аналитическим описанием непосредственно самого изучаемого колебания (или функции), а вторые - описываются теми или иными вероятностными характеристиками и используются при анализе случайных процессов.

Обычно в качестве детерминированных моделей используются следующие элементарные колебания: -импульс, функция включения (скачок) (t)=1(t), треугольный импульс, гармонические функции sin(t), cos(t), отрезок гармонической функции, экспоненциальная функция exp(t), комплексно-экспоненциальная функция exp(jt), функция sin(t)/t и другие. Детерминированные модели сигналов более сложного вида могут быть сформированы из элементарных путем линейных комбинаций.

Одна из важных характеристик случайного процесса - это его частотная полоса. По этому признаку случайные процессы можно условно разделить на узкополосные и широкополосные.

Чаще всего сигналы рассматривают как функции, заданные в определенных физических координатах. В этом смысле различают одномерные (например, зависящие от времени), двумерные, заданные на плоскости (примером могут служить различного рода изображения), трехмерные (характеризующие, например, пространственные объекты) сигналы. Математически такие сигналы описываются соответственно функциями одной, двух и трех переменных. Удобно применять и более сложные модели - комплексные и векторные функции.

Реальные сигналы всегда являются функциями с ограниченным интервалом определения. Так одномерный сигнал, с ограниченным интервалом определения можно записать в виде x(t), t[t_min, t_max], где t_min и t_max - соответственно нижняя и верхняя границы интервала определения.

Если t_min и t_max - величины одного знака, то интервал определения будет односторонним, в противном случае интервал называется двусторонним. При t_min = - t_max интервал называется симметричным. Наряду с ограниченными по области определения сигналами в теории ИВС рассматриваются также сигналы, заданные на полубесконечном и бесконечном интервалах.

Сигнал называется каузальным, если он имеет начало во времени. Все реальные сигналы являются каузальными.

Сигнал называется периодическим, если любое его значение повторяется через интервалы, равные периоду. Финитным называется сигнал, равный нулю вне некоторого ограниченного интервала его определения. Все реальные сигналы могут рассматриваться как финитные.

Непериодическим детерминированным сигналом называется любой детерминированный сигнал, для которого не выполняется условие: x(t) = x(t + kT), где период T является конечным отрезком, а k - любое целое число. Как правило, непериодический сигнал ограничен во времени. (прим. – импульсы, пачки импульсов, обрывки гармонических колебаний).

Квазидетерминированный сигнал - это сигнал, закон изменения которого известен, но один или несколько параметров этого закона являются случайными величинами или процессами.

В зависимости от формы представления сигналы могут быть непрерывными, квантованными по уровню, дискретными и цифровыми

Формы представления сигнала

Множество значений		Наименование	Изображение
времени {t}	сигнала {x}
Непрерывное	Непрерывное	Непрерывный (аналоговый, континуальный)
Непрерывное	Дискретное	Квантованный по уровню (ступенчатая функция)
Дискретное	Непрерывное	Дискретный (решетчатая функция, последовательность вещественных чисел)
Дискретное	Дискретное	Цифровой (последовательность целых чисел

По характеру протекания во времени сигналы разделяются на два вида:

• постоянные во времени; -переменные во времени.

Переменные во времени - это сигналы, значение которых изменяется во времени.

Сигнал называется случайным, если его значение в каждый момент времени есть случайная величина.

Случайные сигналы делятся на: стационарные и нестационарные. У стационарных сигналов вероятностные характеристики не зависят от времени (постоянны). Стационарные сигналы, для которых вероятностные характеристики не зависят от способа усреднения (по времени и ансамблю) называются эргодическими.

Все случайные сигналы в итоге классифицируются по виду закона распределения плотности вероятности, который является полной и исчерпывающей характеристикой любого случайного сигнала.

Формы аналитического описания сигналов

Возможна форма представления сигналов с помощью спектров. Сигнал x() рассматривается как совокупность элементарных сигналов _(), умноженных на коэффициенты c_ и составляющих систему функций {_()} определенного типа: . (3.1)

При этом система функций {_()} называется базисной, а представление сигнала в виде (3.1) - его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом (многочленом). Если сигнал x() является комплексным, то и коэффициенты c_ и система базисных функций {_()} также будут являться комплексными.

Если система функций выбрана, то сигнал полностью характеризуется набором (вектором) спектральных коэффициентов {c_} - его спектром.

В общем случае ряд (3.1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. При практических расчетах такой ряд обычно ограничивают (усекают). В этом случае представление сигнала будет приближенным (3.2) и имеет место аппроксимация сигнала x() конечным рядом (3.2).

При этом необходимо сформулировать критерий приближения.

1. Можно потребовать, чтобы максимальное значение погрешности аппроксимации было минимальным на заданном интервале определения функции x(). Этот вид аппроксимации, при котором минимизируется величина , называется равномерным приближением.

2. В качестве критерия приближения можно выбрать среднюю погрешность

, где T = _max - _min. Такая аппроксимация называется приближением в среднем.

3. Если в качестве меры представления принимается минимум среднеквадратичной погрешности , то такой вид аппроксимации называется приближением в среднеквадратическом.

Все рассмотренные критерии приближения взаимосвязаны. Если ряд (3.2) сходится к x() равномерно, то он тем более сходится среднеквадратически. Из среднеквадратической сходимости вытекает сходимость в среднем.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (3.1) было возможным, система базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

1. Быть упорядоченной системой линейно независимых функций.

2. Быть полной, для того, чтобы по выбранной системе функций можно было разложить любой сигнал из заданного множества.

3. Число линейно независимых функций в полной системе должно быть равным размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества.

Наиболее удобно если базисная система ортогональна.

При представлении сигналов в форме (3.2) необходимо определить способ вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от используемого метода аппроксимации (вида принятого критерия сходимости). В случае применения среднеквадратического критерия коэффициенты c_, выбирают таким образом, чтобы среднеквадратическая ошибка  была минимальной. Это достигается с помощью обобщенной формулы Фурье расчета спектра: [1/(Q )]· . (3.10)

Увеличивая неограниченно число членов в аппроксимирующем многочлене с коэффициентами в форме (3.10), получим в пределе равенство = , выполняемое при . При этом аппроксимирующий многочлен примет вид бесконечного ряда, называемого обобщенным рядом Фурье.

В спектральном представлении (3.1) и в формуле расчета спектра (3.10) базисные функции являются функциями двух переменных  и , а спектральные коэффициенты - функциями переменной . Это приводит к симметрии выражений (3.1) и (3.10), называемых соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье, из которой следует математическое равноправие функций и с_ как различных форм представления сигнала.

(3.12) – решетчатая функция. Для дискретных функций, удовлетворяющих условию , справедлива следующая формула для определения спектра:

[1/(Q )]· . (3.16)

Формулы (3.12) и (3.16) представляют собой дискретные преобразования Фурье.