5. Системы базисных функций. Двоично-ортогональные системы базисных функций. Функции Уолша. Свойства функций Уолша. Система Уолша-Пэли. Масштабирование данных.

Системы базисных функций (СБФ)

Один и тот же сигнал может быть разложен по различным СБФ или, что одно и то же, рассмотрен в различных системах координат. При этом внутренние закономерности сигналов не могут нарушаться при изменении системы координат. Однако спектральному анализу в различных СБФ соответствует различная физическая интерпретация и, что особенно важно, различная практическая реализация. При решении практических задач целесообразно подбирать наиболее подходящие СБФ. Выбор базиса во многом обусловлен спецификой решаемых задач и требованиями, предъявляемыми при их решении.

Если задан ряд из N чисел X₁, X₂, …, X_k,…, X_N,(1) то и функциональный базис следует выбрать из конечного набора N функций Ф_ (Х),  = 1, 2,…, N,(2) существующих на совокупности точек X_k. Тогда дискретное преобразование в этом базисе даст ровно N коэффициентов C_, кoтoрыe находятся с помощью формального суммирования: C_ = _k X_k Ф_ (X_k),  = 1, 2,…, N. (3) Совокупность N коэффициентов C_ и составляет дискретное представление ряда чисел (1) в функциoнaльном базисе (2). Часто эту совокупность чисел C_ называют линейчатым спектром в выбранном базисе.

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество.

Системы единичных функций. Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов, приставленных друг к другу и заполняющих интервал [t₀, t_N], будет ортогональной системой.Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени t, где t - длительность импульсов, N = T / t - число импульсов на рассматриваемом интервале. Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала при t  0 и N . В этом случае она превращается в систему единичных импульсов {u_(t)}, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность, положение которых определяется сдвигом по оси t = t при t  0,  . Система функций {u_(t)} является полной ортогональной системой.Из нее дискретизацией можно получить систему дискретных единичных функций {u_(i)}, каждая из которых имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

(3.17)

Такая система определена на целочисленном интервале [0, N). Система {u_(i)} в форме (3.17) является ненормированной, и ее норма (корень квадратный из мощности) Эта система представляет собой полную СБФ, служащую для разложения дискретных сигналов произвольной формы. Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером  совпадает со значением сигнала в точке i =  его интервала определения, т.е. c_a = x().

Системы тригонометрический базисных функций. Система тригонометрических функций {cos(k) , sin(k)} = { 1, sin(), cos(), sin(2), cos(2), ...} является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-, ], либо [0, 2]. Система является периодической с периодом 2 и ненормированной (норма равна 1/ ). Проведя нормирование на ее основе, можно получить полную ортонормированную систему { 1, sin(), cos(), sin(2), cos(2), ...}. Дискретный аналог этой СБФ - полная ортонормированная система дискретных тригонометрический функций определенная на интервале [-N/2, N/2) или [0, N).

Системы комплексных экспоненциальных функций. Полной ортогональной системой на интервале [-, ] или любом другом интервале длительностью 2 является система комплексных экспоненциальных функций. {e^jk} Это нормированная периодическая система с периодом 2. Для нее характерно свойство мультипликативности, заключается в том, что произведение двух любых ее функций является также функцией этой системы: e^{jk +} e^{jm =} e^jl, где l = k + m. Дискретный аналог этой системы - система дискретных комплексных экспоненциальных функций {e^2ki/N}, обладающая свойствами полноты, нормированности, ортогональности и мультипликативности на интервале, содержащим N отсчетов. Спектр c_ в этом базисе является комплексной функцией.

Полиномиальные базисные системы. К ним относят системы, построенные на основе ортогональных полиномов.

Полиномы Чебышева. На интервале [-1, 1] можно построить полную ортонормальную систему _n() = 2ⁿ(2)^-1/2 T_n(), n=0,1,2,..., где T_n() - полиномы Чебышева, задаваемые следующим образом: T₀()=1, . Полиномы Чебышева обладают важным свойством, из всех полиномов n-ой степени, имеющих коэффициент при  ⁿ, равный единице, полином Чебышева T_n() наименее отклоняется от нуля на интервале [-1, 1].

Полиномы Лежандра. Нормированные и ортогональные функции , , образуют полную систему базисных функций на отрезке [-1,1]. Здесь {P_n()} - полиномы Лежандра, определяемые по формуле

Двоично-ортогональные системы базисных функций. Под этим условным названием объединены системы функций меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара, интервал ортогональности которых при их построении представляется совокупностью двоично-рационального числа равных подынтервалов. Эти системы имеют важное значение для практики спектральной обработки, поскольку принимают только значения 1 (функция Радемахера и Уолша) либо 1 и 0 (функция Хаара) и легко могут быть получены с помощью цифровых устройств. Все эти системы взаимосвязаны друг с другом и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.

Функции Уолша

Для нормированных функций Уолша принято обозначение wal(n,), где n - номер функции, а  находится в интервале 0 <1. Обычно рассматривается множество функций Уолша wal(n,) при n=0,1,...,N-1, где N=2ⁱ и i=1,2,3,...

Функции Уолша различают по их порядку и рангу. Под порядком понимают максимальный из содержащих единицу номеров разрядов при двоичном представлении числа n, рангом называют число единиц в двоичном выражении n. Например, порядок и ранг функции wal(5,) равны соответственно 3 и 2, так как двоичным выражением числа 5 является 101. Функции Уолша могут быть упорядочены по Уолшу. Имеется упорядочивание функций Уолша по Пэли.

Свойство симметрии: W_ (j/N) = W_j (/N).

Система Уолша-Пэли. Масштабирование данных.

Во многих автоматизированных устройствах используются табличные данные. Одним из методов может быть метод сжатия табличной информации за счет ее спектрального разложения в некотором функциональном базисе. Более выгодным является использование для разложения базиса Уолша, так как для гладких функций коэффициенты разложения Уолша быстрее стремятся к нулю. Это допускает большую степень сжатия информации в базисе Уолша. Возможность сжатия информ. появляется, если число коэффициентов спектра можно сделать меньше числа N. Например, когда часть коэффициентов спектра равна нулю или близка к нему. Возможность сжатия информации и степень ее сжатия зависят как от самого ряда чисел, так и от набора функций, составляющих базис спектрального разложения C_. Поскольку ряд чисел Х_k нам задан, то управлять степенью сжатия мы можем, изменяя базис спектрального разложения.

Функции Радемахера: R₀(z) = 1, R_k(z) = sign (sin (2^k z)), k = 1,2,…,

Наиболее интересной в плане сжатия информации является система функций Уолша-Пэли. Образование этой системы тесно связано с двоичными номерами составляющих ее функций. Конкретно, функция Уолша-Пэли с номером  есть произведение функций Радемахера с номерами тех двоичных разрядов , в которых расположены 1. Если записать номер  в двоичном представлении с n = log N разрядами  = _k 2^k-1 _k, то функции системы Уолша-Пэли можно представить так: W_ (z) = _k [R_ (z)]^k.

Для проблемы сжатия исходной информации важна скорость убывания коэффициентов C_ разложения в базисе Уолша при росте номера . Если функция, представляемая рядом (1), обладает непрерывной производной до m-го порядка, и максимальное значение модуля производной |X^(m)| есть М, то коэффициенты спектра с номерами , ранг которых не меньше порядка производной (r  m), удовлетворяет неравенству |C_ (rm)|<M/ 2^m(m+3)/2.

Именно это важное неравенство гарантирует быструю сходимость спектральных коэффициентов C_ с ростом номера  и открывает перспективы сжатия табличной информации. Действительно, ранг r функции Уолша увеличивается с ростом номера функции  так, что условие r  m выполняется для больших номеров . Это значит, что оценка действует для финальных коэффициентов разложения. Чем меньше степень функции, которая порождает ряд чисел (l), тем большей степени сжатия можно достичь при разложении. Если ряд короткий, а степень велика, то сжатие вообще не достигается. Если при той же степени функции увеличивать число членов ряда и, следовательно, число коэффициентов спектра, то степень сжатия растет.