Глава III приближенные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
Вводные замечания
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения – это уравнения, которые содержат только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Трансцендентные уравнения - это уравнения, содержащие какие-либо другие функции (тригонометрические, логарифмические, показательные и др.).
Методы
решения нелинейных уравнений делятся
на прямые и итерационные. Прямые методы
позволяют записать корни в виде некоторого
конечного соотношения (формулы). Однако
часто встречаются уравнения, которые
не удается решить простыми способами,
для их решения используют итерационные
методы –методы последовательных
приближений. Приближенное
нахождение изолированных действительных
корней уравнения
обычно складывается из двух этапов:
отделение корней, т. е. установление малых промежутков
,
в которых содержится один и только один
корень уравнения
.вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью
.
Приближенное
значение корня может быть найдено
различными способами, если исходного
приближения провести не удается, то
находят две близко расположенные точки
a
и b, в
которых непрерывная функция f(x)
принимает
значения разных знаков (
),
в этом случае между точками a
и bесть
точка, в которой
.
Этот процесс называется отделением
корней.
Пусть
дано уравнение
,
где функция
определена и непрерывна в некотором
конечном или бесконечном интервале
.Всякое
значение
,
при котором
,
называется корнем уравнения
.
Будем предполагать, что уравнение имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Для
отделения корней будет полезно следующее
утверждение: если
-
непрерывная, строго монотонная функция
и
,
то на отрезке существует корень уравнения
.
Укажем
следующие некоторые способы отделения
корня для случая
:
Составляется таблица значений функции
на промежутке изменения аргумента
,
и если окажется, что для соседних
значений аргументов значения функции
имеют разные знаки, то корень уравнения
находится между ними.
Пример:
отделить корни уравнения:
Решение: составляем приблизительную схему:
-
x
f(x)
-∞
-
-3
-
-1
+
0
+
1
-
3
+
∞
+
Уравнение имеет три корня, расположенных в интервалах: (-3, 1); (0, 1); (1, 3)
Если существует производная функции
и корни уравнения
легко вычисляются, то корни уравнения
можно отделить следующим образом:
подсчитать знаки функции в точках нулей
ее производной и в граничных точка a
и b.
Пример:
отделить корни уравнения:
на отрезке [-3,
3].
Решение:
уравнение
имеет два действительных корня, которые
расположены в интервалах (-3;1)
и (1;3).
Строится график функции на промежутке изменения аргумента ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью
.
Если функция
сложная, то уравнение
заменяется равносильным:
.
Строятся графики функций
и
;
тогда искомые корни находятся в некоторых
окрестностях проекций на ось
точек пересечения этих графиков.
Пример:
графически решить уравнение
Решение:
корни
уравнения могут быть найдены как абсциссы
точек пересечения логарифмической
кривой
и гиперболы
.
Построив эти кривые, приближенно найдем
единственный корень
уравнения
