3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

При большом числе неизвестных линейно системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами.

Рассмотрим такие методы.

Метод простых итераций

Пусть дана линейна система

(1)

Введем в рассмотрение матрицы

, , и запишем систему (1) в виде матричного уравнения (1^')/

Предполагая, что диагональные коэффициенты a_ii≠0 (i=1, 2,…,n) разрешим первое уравнение системы (1) относительно x₁, второе относительно x₂и т.д. Тогда получим эквивалентную систему

(2)

Где , при i≠jи при i=j (I, j=1,2, …,n).

Введем матрицы

и ,

Запишем систему (2) в матричной форме

(2^’).

Систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем столбец свободных членов .

Далее, последовательно строим матрицы-столбцы

- первое приближение,

- второе приближение и т.д.

Любое (k+1)-е приближение вычисляют по формуле (k=0, 1, 2, …).

Запишем формулы приближений в развернутом виде:

(3)

Иногда выгоднее приводить систему (1) к виду (2) так, чтобы коэффициенты . Например, уравнение: для применения метода последовательных приближений можно записать в виде: .

Вообще, имея систему (i=1, 2, …, n), можно положить: , где . Тогда данная система эквивалентна приведенной системе (i=1, 2, …, n), где при i≠j.

Процесс итераций (3) хорошо сходится, т.е. число приближений, необходимых для получения корней системы (1) с заданной точностью, невелико, если элементы матрицы малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итераций модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы.

Условием остановки итерационного процесса является условие незначительного отличия корней найденных в соседних итерациях:

Пример: решить систему методом простой итерации

Решение: диагональные коэффициенты 4, 3, 4 значительно преобладают над недиагональными, следовательно, сходимость процесса итераций хорошая.

Приведем эту систему к нормализованному виду (2):

Или в матричной форме:

За нулевые приближения корней системы принимаем:

Подставляем эти значения в правые части нормализованной системы и получим первые приближения корней:

Далее подставляя первые приближения в правые части нормализованной системы, получим вторые приближения корней и т.д.

Последовательность приближений должна иметь предел, этот предел и будет решением системы.

Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итераций. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_iучитываются уже вычисленные ранее (k+1)-ые приближения неизвестных x₁, x₂, …, x_i-1.

Пусть дана нормализованная линейная система (i=1, 2, …, n).

Выберем произвольно начальные приближения корней стараясь, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным x₁, x₂, …, x_n.

Далее, предполагая, что k-е приближения корней известны, согласно Зейделю будем строить (k+1)-ые приближения корней по следующим формулам:

(4)

Обычно метод Зейделя даёт лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но он приводит к более громоздким вычислениям. Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходиться процесс итераций. Возможны и обратные случаи.

Процесс останавливаем, когда выполнится условие .

Пример: решить систему методом Зейделя

Решение: приведем систему к нормализованному виду:

В качестве нулевых приближений корней возьмем:

Применяя метод Зейделя, последовательно получим:

и т.д.