Формулы Крамера

Для матрицы Aпорядка n>4 нахождение обратной матрицы A^-1 требует много времени, поэтому метод обратной матрицы достаточно редко употребляется на практике.

Ещё одним из способов решения системы линейных уравнений является Правило Крамера, согласно которому каждое неизвестное представляется в виде отношения определителей:

, , , …, , где

- определитель системы (1),

, , …, -дополнительные определители для , получающиеся из определителя  путем замены его i-го столбца столбцом свободных членов системы (1).

Пример:

Решение: .

,

,

.

Метод Гаусса

Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера сводится к вычислению (n+1)-го определителя порядка n. Если число n велико, то вычисление определителей является трудоёмкой операцией, поэтому разработаны прямые приёмы нахождения корней линейной системы. Наиболее распространенным приемом решения систем линейных алгебраических уравнений является алгоритм последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса. Он основан на приведении матрицы к треугольному виду, это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.

Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными

(1)

Пусть (ведущий элемент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1) на , получим:

, (2),

где

, .

Пользуясь уравнением (2), легко исключить из системы (1) неизвестную . Для этого достаточно из второго уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на , из третьего уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на и т. д. В результате получим систему

(3),

где коэффициенты , вычисляются по формуле

, .

Разделив коэффициенты второго уравнения системы (3) на «ведущий элемент» ( ), получим уравнение

(4),

где

,

Исключая теперь таким же способом, каким мы исключили , придем к следующей системе уравнений:

(5),

где

,

Разделив коэффициенты третьего уравнения системы (5) на «ведущий элемент» ( ), получим:

(6),

где

,

Исключив теперь аналогичным путем из системы (5), будем иметь:

(7),

где

,

Отсюда

(8) ( ),

где

,

Получим систему:

(9)

Неизвестные последовательно определяют из системы уравнений (9):

Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (9), имеющей треугольную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих элементов».

Процесс нахождения коэффициентов треугольной системы называют прямым ходом, процесс получения значений неизвестных – обратным ходом метода Гаусса.

Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю диагональных элементов a_kk, которые происходит деление в процессе исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в k-м столбце элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставит уравнение так, чтобы этот элемент оказался на месте a_kk. Благодаря выбору наибольшего по модулю ведущего элемента уменьшаются множители, используемые для преобразования уравнений, что способствует снижению погрешностей вычисления.

Полученные методом Гаусса приближенные корни можно уточнить. Для этого нужно найти невязку для приближенного решения. Пусть - приближенный корень системы , а точный корень уравнения, т. е. , - невязка, тогда .

Пример:

Решение:

Применение метода Гаусса для вычисления определителей и нахождения обратной матрицы.

При решении системы

по методу Гаусса мы заменяли матрицу

исходной системы, треугольной матрицей

эквивалентной треугольной системы. Элементы треугольной матрицы последовательно получались из матрицы исходной системы и вспомогательных матриц с помощью следующих элементарных преобразований:

1. деления на «ведущие элементы» , которые предполагались отличными от нуля;

2. вычитания из строк исходной матрицы и промежуточных матриц чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.

При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий «ведущий» элемент, при второй – определитель матрицы остается неизменным. Поэтому

Следовательно,

,

т. е. определитель равен произведению «ведущих элементов» для соответствующей схемы Гаусса.

Пример: в предыдущем примере ведущие коэффициенты были равны 3, 1/3,5, следовательноdet=3*1/3*5=5.

Для нахождения обратной матрицы используем соотношение , где - единичная матрица.

Перемножая матрицы и , будем иметь систем уравнений относительно неизвестных

где

Полученные систем линейных уравнений для имеющих одну и ту же матрицу и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса.

Пример:

Решение: