Глава 2 методы решения систем линейных уравнений

Общая характеристика методов решения линейных систем

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные прикладные задачи, поэтому решение линейных систем является одной из самых важных и распространенных задач численных методов.

Способы решения систем линейных уравнений разделяются на две группы: прямые и итерационные.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Прямые методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (правило Крамера, метод обратной матрицы, метода Гаусса). Прямые методы наиболее просты и универсальны. Применяют прямые методы, если количество уравнений меньше 200, в системе мало нулей и определитель не близок к нулю.

Итерационные методы, позволяющие получить корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (метод простых итераций, метод Зейделя). Суть методов: в начале задается некоторое приближенное решение. Проводится цикл вычислений (итерация). В результате итерации находим новое приближенное решение. Повторяем итерации до тех пор, пока не достигнем требуемой точности. Итерационные методы (методы последовательных приближений) применяют, если количество уравнений больше 200, матрица плохо обусловлена, определитель близок к нулю.

Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются приближенными, причем оценка погрешностей в общем случае затруднительна.

Кроме решения систем линейных уравнений существуют другие задачи – вычисление определителя и обратной матрицы.

Определителем матрицы An-го порядка называется число D, равное

, где пробегают все возможные n! перестановок номеров 1, 2, …, n; k – число инверсий в данной перестановке.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения системы линейных уравнений является условие D≠0. В случае D=0 матрица называется вырожденной и либо не имеет решения, либо имеет их бесконечное множество.

Матрица называется обратной по отношению к матрице A, если их произведение равно единичной матрице: .

Минором элемента a_ijназывается определитель n-1-го порядка, образованный из определителя матрицы A зачеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением A_ijэлемента a_ijназывается его минор, взятый со знаком плюс, если сумма i+jномеров строки i и столбца j четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная, т.е.

Каждый элемент b_ij(i, j=1,…,n) обратной матрицы B=A^-1равен отношению алгебраического дополнения A_ijэлементаa_ijисходной матрицы A к значению её определителя D:

Прямые методы решения систем линейных уравнений

Приведем ряд точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

Метод обратной матрицы

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(1)

Обозначим через матрицу из коэффициентов при неизвестных системы (1), через столбец свободных членов матрицы (1) и через столбец из неизвестных. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

Если матрица невырожденная, т. е. ее определитель не равен 0, то существует обратная матрица . Умножая обе части уравнения на матрицу слева, получим: .