5.3 Методы прямоугольников и трапеций

Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он использует замену определенного интеграла интегральной суммой. В качестве точек ξ_iмогут выбираться левые, правые границы элементарных отрезков или середины этих отрезков. Обозначая f(x_i)=y_i, ∆x_i=h – const, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих случаев.

1. Метод левых прямоугольников

X

(2.1.)

2. Метод правых прямоугольников

(2.2.)

3. Метод средних прямоугольников

(2.3.),

где - шаг.

(2.3.1),

где - шаг.

Формула средних прямоугольников является наиболее точной, ее остаточный член равен: .

Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции y=f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (x_i,y_i). В этом случае площадь всей фигуры складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Складывая площади всех прямолинейных трапеций, получим формулу трапеций для численного интегрирования:

(2.4.),

где - шаг.

Остаточный член формулы трапеций имеет вид:

.

3. Формула Симпсона

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке [x₀,x₂], [x₂,x₄],…,[x_i-1,x_i+1],…,[x_n-2,x_n] подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени: Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках x_i соответствующим данным.

В качестве φ_i(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки M_i-1(x_i-1,y_i-1), M_i(x_i,y_i), M_i+1(x_i+1,y_i+1):

Y

M_i

M_i-1

S_i

M_i+1

X

2h

x_i

x_i+1

x_i-1

Элементарная площадь S_i может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем:

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [x_i-1,x_i+1], просуммируем полученные выражения и получим следующую формулу:

(2.5.),

где - шаг.

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.

Метод Симпсона обладает более высокой точностью, главный член погрешности метода Симпсона имеет вид:

.

Двойной пересчет по формуле Симпсона заключается в следующем: первоначально отрезок разбивается на частей с шагом . Вычисляется значение интеграла . Потом число отрезков удваивается, вычисляется значение интеграла с шагом , т.е. предыдущий шаг делится пополам. Условие окончания счёта принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.

Формула Гаусса:

,

где ( )

Значения и берутся из таблицы:

1
2
3
4