Глава V численное дифференцирование и интегрирование

5.1 Аппроксимация производных

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю: (1.1.)

Для вычисления производных используют готовые формулы, однако в численных расчетах на ЭВМ использование этих формул не всегда удобно и возможно (функция может быть задана таблично).в этом случае производную находят, опираясь на формулу (1.1.). Значение шага полагают равным некоторому конечному числу и для вычисления значения производной получают приближенное равенство

(1.2.).

Это соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей (значения , в формуле (1.2.) конечные в отличие от бесконечно малых в (1.1.)).

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции y=f(x), заданной в табличном виде: . Пусть шаг – разность между соседними значениями аргумента – const и равен h. Запишем выражения для производной y₁ при x=x₁. В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

, , (1.3.) – с помощью левых разностей;

, , (1.4.) – с помощью правых разностей;

, , (1.5.) – с помощью центральных разностей.

Можно найти также выражения для старших производных:

(1.6.)

Для аппроксимации производных иногда удобно использовать интерполяционные многочлены. Если использовать интерполяционный многочлен Ньютона, то получаем выражения для производных через разности, если использовать интерполяционный многочлен Лагранжа, то производные будут выражены через значения функции в узлах.

5.2 Численное интегрирование.Постановка задачи. Вводные замечания

Пусть на отрезке задана функция . С помощью точек разобьем отрезок на n элементарных отрезков (i=1,2,...,n), причем . На каждом из этих отрезков выберем произвольную точку и найдем произведение значения функции в этой точке на длину элементарного отрезка :

Составим сумму всех таких произведений:

Сумма называется интегральной суммой. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа точек разбиения, при этом длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить непосредственно по формуле Ньютона-Лейбница. Однако на практике этой формулой не всегда можно воспользоваться по двум основным причинам: 1) вид функции не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях; 2) значения функции заданы только на фиксированном конечном множестве точек , т.е функция задана в виде таблицы. В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции более простыми выражениями (многочленами интерполяции).