2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим случай глобальной интерполяции, т.е. построение интерполяционного многочлена, единого для всего отрезка , график интерполяционного многочлена должен проходить через все заданные точки.

Искомый многочлен:

(1).

Из условий равенства значений этого многочлена в узлах соответствующим заданным табличным значениям получим следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов :

(2).

Решив эту систему, найдем коэффициенты многочлена (1).

Такой путь требует большого объёма вычислений, особенно при большом числе узлов.

Существуют более простые алгоритмы. Рассмотрим один из них. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

(3).

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением i-ого, где он должен равняться единице. Этим условиям отвечает многочлен вида:

(4),

действительно при и при числитель выражения (4) обращается в нуль. По аналогии (4) получим:

(5).

Подставляя в (3) выражения (4) и (5), находим

(6).

Формула (6) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Покажем, что этот многочлен является единственным. Допустим противоположное: пусть существует еще один многочлен F(x) степени n, принимающий в узлах интерполяции заданные значения, т.е. . Тогда разность , являющаяся многочленом степени n (или ниже), в узлах равна это означает, что многочлен степени не больше n имеет n+1 корень и .

Из формулы (6) можно получить выражения для линейной и квадратичной интерполяции:

n=1: - уравнение прямой, проходящей через две точки ;

n=2: - уравнение параболы, проходящей через три точки .

Пример 1: для функции, заданной таблицей, построить интерполяционный многочлен Лагранжа.

x	y
0	0
1/6	1/2
1/2	1

Решение: n=2, применяя формулу (6), получим:

Пример 2: дана таблица значений функции

x	y
321,0	2,50651
322,8	2,50893
324,2	2,51081
325,0	2,51188

Вычислить значение f(323,5).

Решение: положим x=323,5; n=3. тогда по формуле (6) будем иметь:

3. Интерполяционные многочлены Ньютона

Рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т.е. x_i-x_i-1=h – const (i=1,2,…n). Величина h называется шагом. Введем понятия конечных разностей. Пусть известны значения функций в узлах x_i: y_i=f(x_i). Составим разности значений функции:

Эти значения называются первыми разностями функции.

Можно составить вторые разности функции:

Аналогично составляются разности любого порядкаk:

Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

Аналогично для любого k можно написать

(1.0.)

Эту формулу можно записать и для значения разности в узле x_i:

Построим интерполяционный многочлен Ньютона, будем искать его в следующем виде:

(1.1.)

График многочлена должен проходить через заданные узлы, т.е. Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

Отсюда найдем коэффициенты

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

(1.2.)

Подставляя эти выражения в формулу 1.1. получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

(1.3.)

Конечные разности могут быть вычислены по формуле 1.0.

Формулу 1.3. чаще записывают в другом виде. Для этого вводится переменная , тогда

С учетом этих соотношений формулу 1.3. можно записать в виде:

(1.4.)

Более целесообразно, с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения членов в 1.4., ограничиться случаемt<1, т.е. использовать формулу 1.4. для . Для других значений аргумента, например для вместо взять значение . Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в виде:

(1.5.)

Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

Формулу 1.5. используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка, т.к. разности вычисляются через значения функции , причем при больших значениях мы можем вычислить разности высших порядков (k≤n-i). Например, при i=n-3 в 1.5. можно учесть только .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , т.е. t<0, и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

(1.6.)

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

Пример: приняв шаг h=0,05, построить на отрезке [3,5;3,6] интерполяционный полином Ньютона для функции, заданной таблицей

x	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
y	33,115	34,813	36,598	38,475	40,447

Решение: составим таблицу разностей

x	y
3,50	33,115	1,698	0,087	0,005
3,55	34,813	1,785	0,092	0,003
3,60	36,598	1,877	0,095
3,65	38,475	1,972
3,70	40,447

Т.к. разности третьего порядка практически постоянны в формуле 1.4. полагаем n=3. Приняв , будем иметь:

или , где

.