Глава IV интерполирование функций

1. Постановка задачи. Вводные замечания

Пусть величина y является функцией аргумента x –любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. На практике часто неизвестна явная связь между y и x, т.е. невозможна записать связь в виде зависимости y=f(x), иногда эта связь известна, но она настолько громоздка, что её трудно использовать в расчетах.

Распространен случай, когда вид связи между y и x неизвестен, но эта связь задана в виде некоторой таблицы - множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений функции. Эти значения – либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные. На практике могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от x_i, получить их можно путем очень сложных расчетов или проведением дорогостоящих экспериментов.

Приходим к необходимости использования имеющихся табличных данных для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении параметра x.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функции: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(x) так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) при этом называется аппроксимирующей.

Если приближение строится на заданном дискретном множестве точек , аппроксимация называется точечной, к ней относится интерполирование. При построении приближения на непрерывном множестве точек аппроксимация называется непрерывной.

На отрезке заданы точки и значения некоторой функции в этих точках

Требуется построить функцию , принадлежащую известному классу и принимающую в заданных точках те же значения, что и функция , т. е. , ( ).

Геометрически это обозначает, что нужно найти кривую некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек

Интерполирование состоит в следующем: для данной функции y=f(x) строим многочлен , принимающий в заданных точках те же значения , что и функция f(x), т.е. . При этом называется интерполяционным многочленом, а - узлами интерполяции.

Если максимальная степень интерполяционного многочлена m=n, то это глобальная интерполяция, поскольку один многочлен используется для интерполяции функции f(x) на всем рассматриваемом интервале изменения аргумента x.

Если максимальная степень интерполяционного многочлена m<n, то это локальная (кусочная) интерполяция, при этом интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения аргумента x.

Если максимальная степень интерполяционного многочлена m>n, то это экстраполяция, интерполяционный многочлен используется для аппроксимации функции вне рассматриваемого отрезка.

Простой и наиболее используемый вид локальной интерполяции – это линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точка.

Квадратичная интерполяция: в качестве интерполяционной функции на отрезке принимается квадратный трехчлен. Уравнение квадратного трехчлена: . Коэффициенты определяют из уравнений – условий прохождения параболы через три точки эти условия можно записать так: