3. Методы решения систем нелинейных уравнений

Метод простой итерации

Систему уравнений представим в виде:

- начальные приближения.

и т.д.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока результаты всех последовательных итераций не станут близкими .

Метод Ньютона

Метод Ньютона имеет лучшую сходимость, чем метод простой итерации. В основе метода Ньютона использовано разложение функции в ряд Тейлора, причем члены, содержащие вторые и более высоких порядков производные, отбрасываются.

Задача состоит в нахождении приращений аргумента.

т.е. общее решение:

Для этого функции разложим в ряд Тейлора

(1)

Правые части системы (1) приравниваем к 0, значения функций в точках перенесем вправо и получим:

(2)

Для существования единственного решения системы определитель должен быть отличным от нуля, на каждой итерации.

Определителем системы (2) является якобиан .

Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем в рассмотрение матрицы

, , , тогда систему (2) можно записать в виде (2'). Отсюда можно найти : .

Итерационный процесс решения системы продолжается пока не станетистинным условие .

Пример: решить систему , нулевые приближения .

Решение: найдем значения функций в точке : , .

.

Найдем матрицу обратную к :

.

Найдем приращения :

Таким образом, получаем первые приближения корней:

Мы провели первую итерацию, далее повторяем все действия заново с новыми приближениями x и y. Итерационный процесс решения системы продолжается пока приближения x и y, найденные в последовательных итерациях не станут близкими.

Вопросы для самоконтроля:

1. Отделение корней

2. Метод бисекции

3. Метод касательных

4. Метод хорд

Практическая работа №3

Задания: Найти корень данного уравнения (см. таблицу) с точностью до :

1. методом бисекции;

2. методом касательных;

3. методом хорд.

Порядок выполнения работы:

1. Отделить корень уравнения.

2. Составить программу вычисления корня заданного уравнения методом бисекции. В программе предусмотреть:

   1. повторение ввода при неверных исходных данных;

   2. подсчет числа итераций, необходимых для достижения заданной точности;

   3. проверку правильности результата путем вычисления невязки левой части уравнения.

3. Составить программу вычисления корня методом касательных. В программе предусмотреть:

   1. вычисление количества сделанных итераций;

   2. вычисление невязки;

   3. проверку ввода начального приближения.

Провести вычисления при трех различных начальных приближениях. Проанализировать результаты на сходимость метода.

4. Сравнить результаты вычислений по методам бисекции и Ньютона по количеству итераций.

5. Составить программу вычисления корня методом хорд. В программе предусмотреть:

   1. подсчет количества итераций;

   2. подсчет невязку;

   3. проверку ввода начальных приближений.

Данные к заданию:

№ варианта	Уравнение	№ варианта	Уравнение
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12