Итерационные методы решения нелинейных уравнений Метод бисекции (метод половинного деления)
Пусть
мы отделили корень на отрезке
.
Разделим отрезок
пополам точкой
.
Если
,
то возможны два случая: либо
меняет знак на отрезке
,
либо на отрезке
.
Выбираем в каждом случае тот из отрезков,
на котором функция меняет знак, второй
отрезок, на котором функция свой знак
не меняет, отбрасываем. Продолжаем
процесс деления до тех пор, пока
,
где
-
точность.
Метод бисекции очень медленный, но он всегда сходится, т.е. при его использовании решение получается всегда и с заданной точностью.
Метод хорд
Пусть
мы отделили корень на отрезке
.
В данном методе процесс итераций состоит
в том, что в качестве приближений к корню
уравнения принимаются значения
точек пересечения хорды с осью абсцисс.
Метод хорд является методом исключения интервалов. Пусть f(a)=A и f(b)=B. Построим хорду AB, точкой пересечения с осью абсцисс она поделит отрезок на две части. Выбираем ту часть, на границах которой функция имеет разный знак, и снова строим хорду, находим точку её пересечения с осью абсцисс и получаем новое приближение корня. Каждое новое значение приближения корня находится по формуле:
Процесс
продолжаем до тех пор, пока
,
где
-
точность.
Алгоритмы метода бисекции и метода хорд похожи, однако второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. При этом успех его применения, как и в методе бисекции, гарантирован.
Метод касательных (метод Ньютона)
Пусть
мы отделили корень на отрезке
.
Производные
и
сохраняют знак на всем интервале
.
Проведем касательную в точке
.
Точка пересечения касательной с осью
OX
будет новым приближением корня. Для
того, чтобы точка пересечения касательной
с осью OXлежала
внутри отрезка
,
касательную надо проводить в точке
,
где знаки
и второй производной
одинаковы. Иными словами, должно
выполняться условие:
для x=
.
Новое значение приближенного корня
вычисляем по формуле:
,
.
Процесс продолжаем до тех пор, пока , где - точность.
Из
формулы
видно, что чем больше численное значение
производной
,
тем меньше значение
,
поэтому метод Ньютона удобно применять
когда в окрестности корня график имеет
большую крутизну, если же
мало, то и значение
велико и вычисление корня может оказаться
долгим или вовсе невозможным. Следовательно,
если кривая
вблизи точки пересечения с осью OX
почти горизонтальна, то применять метод
Ньютона для решения уравнения
не рекомендуется.
Метод простой итерации
Для
использования этого метода исходное
нелинейное уравнений записывается в
виде
.
Пусть известно начальное приближение
корня
.
Подставим это значение в правую часть
уравнения
и получим новое приближение
.
Далее, подставляя каждый раз новое
значение корня в
,
получаем последовательность значений
.
Итерационный процесс прекращается,
если результаты двух последовательных
итераций близки:
.
Достаточным условием сходимости метода
простой итерации является условие
Рис. Сходящийся итерационный процесс
Рис. Расходящийся итерационный процесс