ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Забайкальский государственный университет

Численные методы

Учебное пособие

Чита, 2013

ББК В193 я73

УДК 51 (076.5)

Ч-671

Печатается по решению Ученого совета Забайкальского государственного университета

Ответственный за выпуск:М.В. Константинов, д-р ист. Наук, проф.,

проректор по научной работе

Рецензенты: С. А. Макаров, к.ф-м.н.,директор ООО «ЧитаИнформ»,

Л.Г. Гомбоев, к.ф-м.н.,

Численные методы: учебное пособие / сост. Е. И. Холмогорова, Забайкал. гос. ун-т. - Чита, 2013 г. – ?с.

Практикум предназначен для проведения практических занятий по численным методам и организации самостоятельной подготовки студентов 3 –5 курсов физико-математического факультета.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ		3
ГЛАВА I	Методы оценки погрешностей
ГЛАВА II	Решение систем линейных алгебраических уравнений
ГЛАВА III	Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
ГЛАВА IV	Интерполирование функций с помощью полинома Лагранжа
ГЛАВА V	Численное интегрирование по формулам средних прямоугольников, трапеций и Симпсона
ГЛАВА VI	Численное решение Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка
ГЛАВА VII	Методы оптимизации
ЛИТЕРАТУРА

Введение

Настоящее пособие представляет собой руководство по выполнению лабораторно – практических работ по численным методам.

Весь материал разбит на главы, в каждой главе содержатся основные теоретические положения, практическая работа и контрольные вопросы.

Теоретический раздел содержит в себе основные понятия и формулы, которые помогут выполнить практическую работу и ответить на контрольные вопросы по соответствующей теме.

Практические работы составлены для 12 вариантов, номер варианта определяет преподаватель. Первая практическая работа должна быть выполнена в табличном процессоре EXCEL, для остальных работ должны быть написаны программы на одном из языков программирования: PASCAL, DELPHI, С.

Контрольные вопросы предназначены для самоконтроля и могут быть заданы при защите практической работы.

Глава 1 методы оценки погрешностей

1. Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок

Область математики, которая призвана давать методы, приводящие к числовому результату и пути использования для этих целей вычислительной техники, называется вычислительной математикой.

Главная задача вычислительной математики – фактическое нахождение решения с приближенной точностью.С помощью математического моделирования решение прикладной задачи сводится к решению математической задачи, для решения математических задач используются следующие методы:

1. Графические: позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений.

2. Аналитические: при использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул.

3. Численные методы: позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результат всегда получается в числовой форме. Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с приближенной точностью. Численные методы должны обладать важным качеством - не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Анализ ошибок (погрешностей) является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Задача анализа ошибок сводится к отысканию их надежных границ и к соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.

Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все этапы решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных. В достаточно общем случае процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:

1. постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2. выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);

3. запись алгоритма на языке программирования (этап программирования);

4. отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);

5. анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Рассмотрим содержание перечисленных этапов решения прикладной задачи. Задача изначально связана не с идеальными, а с реальными объектами. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Этот этап называют построение математической модели или моделированием. Этот этап является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Если выбранная математическая модель слишком грубо отражает изучаемое явление, то какие бы методы решения вслед за этим ни применялись, найденные значения не будут отвечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными.

Вслед за построением математической модели исследователь разрабатывает (подбирает из числа известных) метод решения задачи и составляет алгоритм. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной математической модели называют алгоритмизацией. Особые трудности на этапе разработки алгоритма заключаются в поиске метода решения задачи (основными методами решения прикладных задач являются численные методы).

На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке программирования, этап программирования. После отладки и тестирования программы следует этап реализации – исполнение программы и получение результатов решения.

Завершающий этап решения задачи – это анализ или интерпретация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем.