
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1 методы оценки погрешностей
- •Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок
- •Погрешности
- •Оценка погрешностей результатов при выполнении операций над приближенными числами
- •Источники погрешностей
- •Практическая работа №1
- •Глава 2 методы решения систем линейных уравнений
- •Общая характеристика методов решения линейных систем
- •Прямые методы решения систем линейных уравнений
- •Метод обратной матрицы
- •Формулы Крамера
- •Метод Гаусса
- •Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод Зейделя
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа № 2
- •Глава III приближенные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным
- •Вводные замечания
- •Итерационные методы решения нелинейных уравнений Метод бисекции (метод половинного деления)
- •Метод хорд
- •Метод касательных (метод Ньютона)
- •Метод простой итерации
- •Методы решения систем нелинейных уравнений
- •Метод простой итерации
- •Метод Ньютона
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа №3
- •Глава IV интерполирование функций
- •Постановка задачи. Вводные замечания
- •Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •Интерполяционные многочлены Ньютона
- •Точность интерполяции
- •Метод наименьших квадратов
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа № 4
- •Глава V численное дифференцирование и интегрирование
- •5.1 Аппроксимация производных
- •5.2 Численное интегрирование.Постановка задачи. Вводные замечания
- •5.3 Методы прямоугольников и трапеций
- •Формула Симпсона
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа №5
- •Глава VI численное решение задачи коши для дифференциальных уравнений первого порядка
- •6.1 Постановка задачи. Вводные замечания
- •6.2 Задача Коши.Метод Эйлера
- •Метод Рунге-Кутта
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа № 6
- •Глава VII методы оптимизации
- •7.1 Постановка задачи. Вводные замечания
- •7.1 Метод «Золотое сечение»
- •7.1 Многомерная оптимизация
- •Метод покоординатного спуска
- •Метод градиентного спуска
- •Вопросы для самоконтроля:
- •Практическая работа №7
- •Примерный итоговый тест по курсу Часть a
- •Примерная контрольная работа по курсу
- •Литература
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Забайкальский государственный университет
Численные методы
Учебное пособие
Чита, 2013
ББК В193 я73
УДК 51 (076.5)
Ч-671
Печатается по решению Ученого совета Забайкальского государственного университета
Ответственный за выпуск:М.В. Константинов, д-р ист. Наук, проф.,
проректор по научной работе
Рецензенты: С. А. Макаров, к.ф-м.н.,директор ООО «ЧитаИнформ»,
Л.Г. Гомбоев, к.ф-м.н.,
Численные методы: учебное пособие / сост. Е. И. Холмогорова, Забайкал. гос. ун-т. - Чита, 2013 г. – ?с.
Практикум предназначен для проведения практических занятий по численным методам и организации самостоятельной подготовки студентов 3 –5 курсов физико-математического факультета.
Содержание
ВВЕДЕНИЕ |
|
3 |
ГЛАВА I |
Методы оценки погрешностей |
|
ГЛАВА II |
Решение систем линейных алгебраических уравнений |
|
ГЛАВА III |
Приближенные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным |
|
ГЛАВА IV |
Интерполирование функций с помощью полинома Лагранжа |
|
ГЛАВА V |
Численное интегрирование по формулам средних прямоугольников, трапеций и Симпсона |
|
ГЛАВА VI |
Численное решение Задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка |
|
ГЛАВА VII |
Методы оптимизации |
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
Введение
Настоящее пособие представляет собой руководство по выполнению лабораторно – практических работ по численным методам.
Весь материал разбит на главы, в каждой главе содержатся основные теоретические положения, практическая работа и контрольные вопросы.
Теоретический раздел содержит в себе основные понятия и формулы, которые помогут выполнить практическую работу и ответить на контрольные вопросы по соответствующей теме.
Практические работы составлены для 12 вариантов, номер варианта определяет преподаватель. Первая практическая работа должна быть выполнена в табличном процессоре EXCEL, для остальных работ должны быть написаны программы на одном из языков программирования: PASCAL, DELPHI, С.
Контрольные вопросы предназначены для самоконтроля и могут быть заданы при защите практической работы.
Глава 1 методы оценки погрешностей
Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок
Область математики, которая призвана давать методы, приводящие к числовому результату и пути использования для этих целей вычислительной техники, называется вычислительной математикой.
Главная задача вычислительной математики – фактическое нахождение решения с приближенной точностью.С помощью математического моделирования решение прикладной задачи сводится к решению математической задачи, для решения математических задач используются следующие методы:
Графические: позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея графических методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений.
Аналитические: при использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул.
Численные методы: позволяют свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результат всегда получается в числовой форме. Главная задача численных методов – фактическое нахождение решения с приближенной точностью. Численные методы должны обладать важным качеством - не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.
Анализ ошибок (погрешностей) является неотъемлемой частью процесса решения прикладной задачи. Задача анализа ошибок сводится к отысканию их надежных границ и к соблюдению условий, обеспечивающих их минимальное распространение.
Возникновение, накопление и распространение ошибок проходят через все этапы решения прикладной задачи, начиная с получения значений исходных данных. В достаточно общем случае процесс решения задач с использованием ЭВМ состоит из следующих этапов:
постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);
выбор метода и разработка алгоритма (этап алгоритмизации);
запись алгоритма на языке программирования (этап программирования);
отладка и исполнение программы на ЭВМ (этап реализации);
анализ полученных результатов (этап интерпретации).
Рассмотрим содержание перечисленных этапов решения прикладной задачи. Задача изначально связана не с идеальными, а с реальными объектами. По этой причине решение задачи обычно начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют математической постановкой задачи. Выделяя наиболее существенные свойства реального объекта, исследователь описывает их с помощью математических соотношений. Этот этап называют построение математической модели или моделированием. Этот этап является наиболее сложным и ответственным этапом решения. Если выбранная математическая модель слишком грубо отражает изучаемое явление, то какие бы методы решения вслед за этим ни применялись, найденные значения не будут отвечать условиям реальной задачи и окажутся бесполезными.
Вслед за построением математической модели исследователь разрабатывает (подбирает из числа известных) метод решения задачи и составляет алгоритм. Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках заданной математической модели называют алгоритмизацией. Особые трудности на этапе разработки алгоритма заключаются в поиске метода решения задачи (основными методами решения прикладных задач являются численные методы).
На следующем этапе алгоритм задачи записывается на языке программирования, этап программирования. После отладки и тестирования программы следует этап реализации – исполнение программы и получение результатов решения.
Завершающий этап решения задачи – это анализ или интерпретация результатов. На этом этапе происходит осмысливание полученных результатов, сопоставление их с результатами контрольного просчета, а также с данными, полученными экспериментальным путем.