РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра Высшей математики и математического моделирования
Методические указания и задания
к контрольным работам студентов
II курса заочного отделения
для ЗРМ, ЗРМЭ, ЗМГГ, ЗГЭК, ЗРН
Составители: Ваксман К.Г.
Михайлова А.В.
Москва,
2006 г.
Контрольная работа № 7
Тема: «Дифференциальное исчисление
функций нескольких переменных»
Краткие теоретические сведения.
Частные производные первого порядка. Дана функция
.
При нахождении частной производной по одному аргументу второй аргумент считается постоянной величиной
(аргумент у – постоянная величина);
(аргумент х – постоянная величина)
Например: 1)
,
;
2)
,
(используем формулу
).
Частные производные второго порядка находятся как производные от производных первого порядка.
;
;
;
.
Пример,
,
;
;
;
;
.
.
Градиент скалярного поля – вектор с координатами
.
Этот вектор направлен по нормали к
линии уровня
и характеризует направление наибольшего
возрастания функции z.
.
Пример 2: Дана функция
.
Найти
в точке
.
;
;
;
;
(использовалась формула
).
Производная по заданному направлению
вектора
находятся по формуле
,
где
–
направляющие косинусы вектора
,
.
Пример: Дана функция
.
Найти производную по направлению вектора
в точке
.
;
;
;
(использовалась формула
).
;
;
.
Задания к контрольной работе № 7
Задание 1. Даны две функции
и
.
Для каждой функции проверить равенство
смешанных производных второго порядка
.
Задание 2. Даны: функция
,
точка
и вектор
.
Найти: 1)
в точке А; 2) производную по
направлению вектора
в точке А.
№ вар-та |
Задания |
1 |
1)
2)
|
2 |
1)
2)
|
3 |
1)
2)
|
4 |
1)
2)
|
5 |
1)
2)
|
6 |
1)
2)
|
7 |
1)
2)
|
8 |
1)
2)
|
9 |
1)
2)
|
10 |
1)
2)
|
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.
;
.Контрольная работа № 8
Тема: «Дифференциальные уравнения»
Краткая теория и методические указания для решения:
Дифференциальные уравнения I порядка:
или
.
Общее решение – это совокупность
решений
или
,
зависящих от произвольной постоянной
С.
Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:
Уравнения с разделяющимися переменными
Алгоритм решения:
а)
;
Умножим на
обе части уравнения. Получим б)
;
в) Разделим переменные, чтобы слева были
функции, зависящие от у, а справа –
от х. Для этого разделим обе части
уравнения на
.
Получим
;
г) Произведя интегрирование (слева по
,
справа по
)
получим решение
.
Линейные дифференциальные уравнения I порядка
(
и у входят в первой степени). Методом
Бернулли заменой
приводим к последовательному решению
двух уравнений с разделяющимися
переменными относительно
и затем
.
.
Подставим в уравнение:
или
(1.2.1) . Определим
таким образом:
.
Решив это уравнение, одно частное
решение
подставим в (1.2.1) . Получим уравнение
относительно
:
.
Определим общее решение
.
Общее решение уравнения 1.2 есть
.
Дифференциальные уравнения II порядка.
.
Общее решение – это совокупность
решений вида
,
где
и
– произвольные постоянные.
2.1 Дифференциальные линейные уравнения
II порядка с постоянными
коэффициентами.
,
и
– постоянные числа. Если
,
то уравнение называется однородным,
если
,
то неоднородным.
Общее решение неоднородного уравнения
,
где
– общее решение однородного уравнения,
– какое-нибудь частное решение
неоднородного уравнения.
2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка
Составим и решим характеристическое
уравнение
.
Дискриминант
.
Могут быть 3 случая:
а)
,
два разных действительных корня
и
,
;
б)
,
два равных действительных корня:
=
,
;
в)
,
два комплексных корня:
и
,
– мнимая единица,
,
– действительная,
–
мнимая часть комплексного числа;
.
Если
,
.
2.1.2. Нахождение частного решения
неоднородного уравнения
методом неопределённых коэффициентов
в зависимости от вида правой части
уравнения
.
и – корни характеристического уравнения.
2.1.2.1.
(а и
– данные числа)
а)
,
,
;
б)
,
или
.
2.1.2.2.
а)
,
,
;
б)
,
или
.
в)
.
2.1.2.3.
(а,
,
– данные числа, а или
может быть равно 0).
а)
,
,
;
б)
или
.
Коэффициенты M и N
находят методом неопределённых
коэффициентов. Подставим
,
,
в уравнение 2.1. получим
.
Приравняем коэффициенты в левой и правой
части при одинаковых степенях х,
или при
,
или при
,
или при
,
или при
,
или при
,
или при
и
при
.
2.1.3. Частное решение дифференциального
уравнения при заданных начальных
условиях
.
Выпишем общее решение неоднородного
уравнения:
,
найдем
.
Подставим начальные условия в выражение
для
и
,
получим систему двух уравнений
относительно
и
.
Найдя
и
,
подставим их значения в решение у.