Анализ устойчивости линейных динамических систем

6.1 Цель работы

Изучить методы анализа устойчивости линейных динамических систем. Получить практические навыки применения алгебраических и частотных критериев устойчивости.

6.2 Теоретические положения

Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной динамической системы является отсутствие корней характеристического уравнения с положительными действительными частями. Чтобы установить справедливость этого условия нет необходимости вычислять все корни и даже составлять характеристическое уравнение. Для этого применяются критерии устойчивости, которые разделяются на алгебраические и частотные.

В качестве необходимого алгебраического условия устойчивости выступает то, что все коэффициенты характеристического полинома должны быть положительными (быть одного знака). Для нахождения достаточного условия требуется дополнительный анализ коэффициентов.

Критерий Гурвица. Этот критерий позволяет определить знак всех корней характеристического уравнения без их вычисления.

Пусть характеристический полином имеет вид:

Составим определитель Гурвица в виде:

и запишем его диагональные миноры

Последний определитель можно выразить через предпоследний:

По критерию Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости системы является выполнение следующей системы неравенств:

Используя этот критерий легко установить, что для систем первого и второго порядка необходимое условие является и достаточным:

Критерий Михайлова. Все частотные критерии устойчивости базируются на преобразовании Фурье (в передаточной функции выполняем подстановку ) и принципе аргумента, сущность которого заключается в следующем. С возрастанием частоты от ω=0 до ω=∞ характеристический вектор будет изменять свой аргумент (угол поворота относительно действительной оси ) в соответствии со знаком корня характеристического уравнения. Конец этого вектора будет описывать кривую, которая называется годографом Михайлова. Если в системе n-го порядка всеl n корней характеристического уравнения находятся слева от мнимой оси на комплексной плоскости, то характеристический вектор повернется на угол с возрастанием частоты от ω=0 до ω=∞. Следовательно, для устойчивости системы достаточно, чтобы при возрастании частоты от ω=0 до ω=∞ годограф Михайлова последовательно проходил n квадрантов на комплексной плоскости.

На рис.6.1 кривая Михайлова (a) соответствует устойчивой системе, кривая (b) – неустойчивой, система с годографом Михайлова (c) находится на колебательной границе устойчивости.

Критерий Найквиста. Часто необходимо определить устойчивость замкнутой системы управления с передаточной функцией Ф(р), если известна передаточная функция разомкнутой системы W(p)

,

здесь порядок полинома R(p) меньше, чем порядок полинома Q(p). (Передаточную функцию W(р) можно получить экспериментально).

Введем вспомогательную функцию

,

в числителе которой получим характеристический многочлен системы D(p).

Для устойчивой системы в диапазоне частот годограф не будет охватывать точку (0; j0). Следовательно, обычная комплексная частотная характеристика разомкнутой системы W(jω) не будет охватывать точку (-1; j0) на комплексной плоскости.

Поскольку две ветви частотной характеристики W(jω) (для и для ) симметричны относительно действительной оси, то для анализа устойчивости достаточно построить только первую ветвь. На рис.6.2a,b представлены характеристики W(jω) (годографы Найквиста) для устойчивой системы; на рис.6.2c – кривая W(jω) для системы, находящейся на колебательной границе устойчивости; на рис.6.2d – для неустойчивой системы.

Система, характеристика которой W(jω) представлена на рис.6.2a будет называться абсолютно устойчивой. Это значит, что при любом увеличении коэффициента усиления разомкнутой системы K замкнутая система останется устойчивой.

Если передаточная функция W(p) имеет астатизм порядка N, то при построении годографа Найквиста мы должны дополнить кривую дугами бесконечного радиуса с изменением аргумента на ( ) , чтобы начало годографа (для ) располагалось на положительной части действительной оси.

Иногда замкнутая система будет устойчивой даже если передаточная функция разомкнутой системы W(p) имеет корни знаменателя в правой части комплексной плоскости. Для этого случая критерий Найквиста имеет специальную форму. В графической форме это выражается в том, что годограф Найквиста должен охватывать точку (-1; j0) столько раз, сколько знаменатель W(p) имеет корней с положительной действительной частью.

Анализ устойчивости с помощью ЛАФЧХ. Требование критерия Найквиста, чтобы комплексная частотная характеристика разомкнутой системы не охватывала точку (-1; j0) на практике означает, что для частоты, где argW(jω) =( ), должно выполняться условие |W(jω) |<=1. В противном случае при замыкании системы можно получить условие самовозбуждения колебаний системы, когда сигнал отрицательной обратной связи превращается в положительную обратную связь, которая не уменьшает, а увеличивает рассогласование системы.

Таким образом можно сказать, что для устойчивости системы необходимо, чтобы на частоте среза ω_с (где A(ω_с)=1) выполнялось условие φ(ω_с)>-. И наоборот, для частоты ω_π ( где φ(ω_π)=-π ) должно выполняться условие A( )<=1.

Если перевести эти условия в изображение логарифмической частотной характеристики, то получим, что при возрастании частоты ЛАЧХ L( ) должна пересекать отметку 0 dB до того, как ЛФЧХ φ(ω) пересечет отметку (- ) rad. На рис.6.3a построены логарифмические АЧХ и ФЧХ для устойчивой системы, на рис.6.3b – для неустойчивой. На рис.6.3a представлена также ФЧХ устойчивой системы, которая соответствует случаю, относящемуся по критерию Найквиста к рис.6.2b. Здесь за частоту ω_π следует принять последнюю точку пересечения линии φ(ω)=-π фазовой характеристикой при возрастании частоты.

Из рис.6.3b легко заключить, что для того, чтобы системы стала устойчивой необходимо уменьшить общий коэффициент усиления разомкнутой системы («опустив» кривую L(ω)).

Для устойчивой системы (рис.6.3a) можно определить запасы устойчивости по фазе Δφ и по амплитуде ΔL. Обычно для хорошей устойчивости автоматической системы предъявляются требования

Применение критериев устойчивости к системам управления может быть выполнено с помощью системы MatLab, которую следует использовать для построения частотных характеристик, а также для вычисления определителя предварительно заданной квадратной матрицы X с помощью функции det[X].

3. Варианты заданий на работу

1) Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Определите устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Гурвица и критерия Найквиста.

Ответ: система устойчива.

2) Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Определите устойчивость замкнутой системы с помощью критерия Гурвица и критерия Михайлова.

Ответ: система неустойчива.

3) Характеристический полином системы имеет вид

D(p) = 0.2 p³ + 5 p² +10 p + 100

Определить устойчивость системы по критерию Михайлова. (Использовать свойство чередования действительных и мнимых корней). Подтвердите результат с помощью критерия Гурвица.

Ответ: система устойчива.

4) Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

, K=40.

Определить устойчивость замкнутой системы по критерию Найквиста (с помощью ЛАФЧХ). Подтвердите результат с помощью критерия Гурвица.

Ответ: система устойчива.

3. Контрольные вопросы

1. К чему сводятся условия устойчивости линейной динамической системы?

2. Сформулируйте необходимое алгебраическое условие устойчивости.

3. Как проверяется устойчивость системы с помощью алгебраических критериев? В чем их достоинство?

4. На каком принципе основаны все частотные критерии устойчивости? Объясните этот принцип.

5. Нарисуйте годограф Михайлова устойчивой системы четвертого порядка.

6. Каковы преимущества частотных критериев устойчивости?

7. Может ли неустойчивая разомкнутая динамическая система при замыкании обратной связи стать устойчивой?

8. Нарисуйте годограф Найквиста устойчивой системы с астатизмом второго порядка.

9. Поясните, как отразится на устойчивости системы регулирования последовательное включение интегрирующего регулятора.

10. Как определить устойчивость замкнутой системы по ЛАФЧХ разомкнутой системы?

Лабораторная работа 7