Элементарные звенья динамических систем. Временные характеристики звеньев

1. Цель работы

Ознакомиться с классификацией и основными типами элементарных динамических звеньев автоматических систем. Получить практические навыки исследования временных и частотных характеристик динамических звеньев.

2. Теоретические положения

Классификация динамических звеньев определяется типом описывающих их дифференциальных уравнений.

Пусть x₁ – входная величина звена, а x₂ – выходная. Статическая характеристика любого линейного звена будет представлять собой прямую линию.

Для позиционных звеньев эта линия выражает зависимость между входной и выходной переменными величинами.

x₂=kx₁,

где k – коэффициент передачи звена.

Для интегрирующих звеньев линейная зависимость связывает производную выходной величины с первообразным входным сигналом:

В установившемся положении

где k – коэффициент передачи [с^-1].

Для дифференцирующих звеньев получаем выражение

где коэффициент k [с] – имеет размерность времени.

Рассмотрим описание основных типов динамических звеньев, их дифференциальные уравнения и временные характеристики.

1. Позиционные динамические звенья

a.1. Безынерционное звено

Это звено описывается простым алгебраическим уравнением не только в статике, но и в динамике:

x₂=kx₁.

Его передаточная функция равна константе:

W(p)=W(jω)=k.

Этот тип динамических звеньев используется для описания широкого класса технических устройств ( быстродействующие электронные усилители редукторы без люфта и т.п.)

Переходная характеристика: h(t)=k 1(t).

Весовая функция: w(t)=k δ(t).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) этого звена вырождена в точку, лежащую на расстоянии k от начала координат на действительной оси

A(ω)=k=const,

φ (ω)=0=const.

a.2. Апериодическое звено первого порядка

Это звено можно описать дифференциальным уравнением вида:

Передаточная функция: .

Такое описание характерно, например, для электродвигателя (с линейной механической характеристикой), R-C-цепи, газового ресивера, и т.д.

Временные характеристики звена описываются формулами:

и представлены на рис.3.1.

a.3. Колебательное звено

Звено имеет второй порядок. В операторной форме дифференциальное уравнение такого звена можно представить следующим образом:

где - угловая частота собственных колебаний;

0<ξ<1 – коэффициент демпфирования.

Такая математическая модель используется для описания RLC–цепи, колебательных механических систем с вязким трением и проч.

Передаточная функция колебательного звена:

Корни характеристического уравнения колебательного звена всегда являются комплексными:

Переходная и весовая характеристики этого звена выражаются следующими формулами и представлены на рис.3.2:

На рис.3.2a: .

a.5. Консервативное звено

Является частным случаем колебательного звена при

.

Его переходная характеристика представляет незатухающие колебания:

a.6. Звено чистого запаздывания

Его можно отнести к позиционным условно, т.к. оно является достаточно упрощенной идеализацией. Такое звено можно описать передаточной функцией

.

Оно соответствует реальным объектам, которые передают входной сигнал совершенно точно, но с постоянной задержкой по времени τ. Таким образом, можно описать поведение конвейерной линии (по передачи материала или информации) или устройства временной задержки. Это звено имеет переходную и весовую характеристики такие же, как и безынерционное звено, но смещенные по оси времени на величину τ.

2. Интегрирующие звенья

b.1. Идеальное интегрирующее звено

Это звено описывается дифференциальным уравнением:

и имеет передаточную функцию

.

Примеры интегрирующего звена: операционный усилитель с емкостью в обратной связи (рис.3.3), электродвигатель постоянного тока, если управляющее напряжение – входная величина, а угол поворота – выходная.

Переходная характеристика интегрирующего звена - прямая, которая неограниченно возрастает во времени, угол ее наклона равен коэффициенту k

h(t)=kt 1(t);

весовая функция

w(t)=k 1(t)=const.

b.2. Интегрирующее звено с замедлением

Дифференциальное уравнение:

.

Передаточная функция: ,

которую удобно представить последовательностью двух динамических звеньев:

;

;

.

b.3. Изодромное звено:

Дифференциальное уравнение:

.

Передаточная функция

.

Для изодромного звена:

.

3. Дифференцирующие звенья

c.1. Идеальное дифференцирующее звено.

Дифференциальное уравнение

.

Передаточная функция

Таким образом, это звено выдает производную от функции времени входного сигнала:

.

Примером идеального дифференцирующего звена может служить тахогенератор, выходное напряжение которого пропорционально входной скорости вращения. Это звено имеет постоянную фазовую характеристику, равную ( ).

c.2. Дифференцирующее звено с замедлением

Дифференциальное уравнение: .

Передаточная функция: ,

которая может быть представлена последовательным соединением идеального дифференцирующего и апериодического звеньев. Для этого звена

.

Вообще говоря, любая сложная передаточная функция линейной системы может быть выражена через комбинацию следующего множества элементарных звеньев:

.

Поскольку для построения переходной и весовой характеристик динамического звена следует лишь решить его дифференциальные уравнения при заданном входном воздействии, то при выполнении практического задания можно использовать ту же методику, что и в предыдущей лабораторной работе.

Для построения графиков функций с помощью пакета MatLab применяется следующие приемы.

Комплексные числа записывают в MatLab также традиционным образом:

2+3i; -6.78+0.64e-3*i; 4 – 2 j. Необходимая форма числа (действительное или комплексное) выбирается системой при производстве вычислений автоматически. Для работы с комплексными числами предназначены следующие функции: abs (модуль), conj (сопряженный комплекс); real, imag (действительная и мнимая части); angle (аргумент).

Для функции одной вещественной переменной график строится с помощью следующих выражений, например:

x=0: 0.01: 2;

y=sin(x); - вычисляется массив функции у по аргументу х в указанных пределах с указанным шагом, после чего вызовом функции

plot(x,y)

генерируется графическое окно, в котором будет построен гарфик.

Команда clf позволяет очистить окно, а команада cla – удаляет только график.

Если нужно построить второй график поверх первого , то перед вторым вызовом функции plot следует выполнить комнаду hold on. Также можно применить команду с несколькими параметрами plot(x,y,x,z), выводящую сразу несколько графиков разным цветом. Для создания нового графического окна применяют команду figure.

Для вывода нескольких разных графиков в составе одного окна применяют функцию subplot, которая принимает три числовых параметра: первый из них равен числу подобластей, второй – числу колонок подобластей, а третий – номеру подобласти.

C помощью специальных маркеров функции plot можно также задавать цвет и тип линий графиков.

Если существует необходимость отказаться от автоматического формирования масштабов изображения, можно применить функцию масштабирования

axis ( [ xmin, xmax, ymin, ymax ] ). Например, эту функцию можно применять сколько угодно раз подряд, чтобы найти графически значение корня уравнения.

В графическом окне также можно применять изменения цвета фона, выводить произвольный текст.

3. Варианты заданий на работу

1. С помощью пакета MatLab постройте переходную характеристику апериодического звена при К=1; Т=0,1, а также переходную характеристику и АЧХ колебательного звена со следующими параметрами: T=0.1 s, K=2, =0.5;

2. С помощью пакета MatLab постройте переходную характеристику апериодического звена при К=1; Т=0,1, а также переходную характеристику и ФЧХ консервативного звена со следующими параметрами: T=0.2 s, K=3.

3. С помощью пакета MatLab постройте переходную характеристику апериодического звена при К=1; Т=0,1, а также переходную характеристику и ФЧХ изодромного звена со следующими параметрами: T=0.05 s, K=4.

4. С помощью пакета MatLab постройте переходную характеристику апериодического звена при К=1; Т=0,1, а также переходную характеристику и АЧХ интегрирующего звена с замедлением со следующими параметрами: T=0.08 s, K=2,4.

4. Контрольные вопросы

1. Поясните смысл введения понятия элементарного динамического звена.

2. Назовите основные признаки, по которым классифицируются элементарные динамические звенья

3. Приведите физические аналоги апериодического и интегрирующего звеньев.

4. Какие общие свойства объединяют позиционные звенья?

5. Назовите инерционные звенья второго порядка. Приведите их физические аналоги и характеристики

6. Что такое передаточная функция звена?

7. Как отличить звено с интегрированием от позиционных?

8. Можно ли изобразить весовую характеристику идеального дифференцирующего звена?

9. Запишите модель типа «Вход – состояние – выход» для двигателя постоянного тока, управляемого по якорной цепи (напряжение на обмотке возбуждения считать постоянным).

10. Поясните различие между минимально-фазовыми и неминимально-фазовыми звеньями.

Лабораторная работа 4