2.3 Продольные и поперечные деформации

Под действием продольной силы стержень изменяет свою длину (деформируется – удлиняется или укорачивается). Приращение длины стержня Δℓ – абсолютная линейная деформация его.

Рассмотрим участок стержня элементарной длины dz (рисунок 11 а). Видим, что после приложения нагрузки – продольной силы , где A – площадь поперечного сечения стержня, данный участок получит абсолютную линейную деформацию Δdz.

Рисунок 11. Продольная (а) и поперечная (б) деформация элементарного участка стержня

Знаем, что относительная продольная деформация определяется отношением

. (1)

На достаточном удалении от мест приложения внешней силы (гипотеза Сен-Венана) сечения после нагружения остаются плоскими, и перемещаются параллельно самим себе (гипотеза Бернулли – плоских сечений). Следовательно, по всему сечению действуют нормальные напряжения одинаковой величины: σ=const.

Отсюда следует постоянство продольной деформации по высоте и ширине сечения ε = const.

Тогда, суммируя абсолютные удлинения малых элементов Δdz = εdz по всей длине стержня, получим:

. [м, см, мм] (2)

Относительная продольная деформация стержня при простом растяжении:

. [%] (3)

Легко видеть, что и в направлении осей X и Y поперечное сечение стержня также деформируется – поперечные размеры сечения уменьшаются при его растяжении и увеличиваются при сжатии (рисунок 4б). Это есть поперечная деформация: абсолютная (Δa и Δb) и относительная:

. (4)

Они записаны со знаком минус, т.к. продольная и поперечная деформации имеют обратные знаки. Отметим, что для изотропных материалов .

2.4 Упругие постоянные материала

Опытами установлено, что отношение относительной поперечной к относительной продольной деформации для каждого материала есть величина постоянная. Это отношение, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом поперечной деформации (коэффициентом Пуассона):

. (5)

Коэффициент Пуассона – всегда положительная безразмерная величина. Его величина определяется опытным путем для каждого материала и условий испытаний. Эту величину впервые теоретически получил француз Пуассон: для всех материалов – 0,25.

Для различных материалов изменяется в пределах от 0 до 0,5. Для большинства металлов 0,3 (для стали Ст. 3 0,28). Коэффициент для сталей не зависит от знака нагрузки, т.е. одинаков и при растяжении и при сжатии.

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации (например, при растяжении) связаны прямой пропорциональной зависимостью (рисунок 12):

σ = Е ε, (6)

где Е – коэффициент пропорциональности.

Рисунок 12. Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали

(участок пропорциональности)

Коэффициент Е называется модулем продольной упругости (модулем упругости при растяжении или модулем упругости I рода, модулем Юнга).

Из графика (рисунок 12) и формулы (6) следует, что модуль продольной упругости определяется углом наклона α прямой на участке ОА, т.е. отношением

(7)

Модуль упругости I рода есть вторая упругая постоянная материала и характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия. Определяется опытным путем – испытанием образца, изготовленного из исследуемого материала. Имеет размерность напряжений. Впервые идею об этом модуле высказал в 1800 г. англичанин Томас Юнг, а современное толкование модуля дал в 1826 г. француз Луи Навье.

В таблице 1 приводятся значения упругих постоянных для некоторых конструкционных и строительных материалов при нормальных условиях испытаний.

Таблица 1

Упругие постоянные некоторых конструкционных и строительных материалов

Материал	Е, МПа	υ
Стали	(1,8…2,1)×105	0,24…0,3
Алюминиевые сплавы	0,7×105	0,3
Медные сплавы	(1,1…1,3)×105	0,31…0,35
Чугун	(1,15…1,6)×105	0,23…0,27
Бетон	(0,04…0,4)×105	0,2
Кирпичная кладка	(0,01…0,08)×105	0,25
Древесина (вдоль волокна)	0,1×105	0,5
Древесина (поперек волокна)	0,04×105	0,02
Резина	0,0007×105	0,5

Для изотропных материалов постоянные Е и полностью характеризуют их упругие свойства.

Для анизотропных материалов (дерево, бумага, пластмасса и т.д.) эти величины для разных направлений измерения деформаций различны.