Приклади розв'язку задач

Задача 1 (приклад постановки прямої задачі).

В електричному колі, наведеному на рис.8 , електрорушійна сила джерела Е=50В, а опори резисторів дорівнюють R₁ =10 Ом, R₂=20 Ом, R₃ =20Ом. Визначити значення струмів І₁, І₂, І₃.

Розв’язання

1) Для розв’язку задачі використовуємо еквівалентне перетворення:

.

2) Визначаємо еквівалентний опір схеми: .

3) Застосовуємо закон Ома для замкненого кола для визначення струму на нерозгалуженій ділянці кола: .

4) Знаходимо напругу на ділянці аb: .

5) За законом Ома визначаємо струм через резистор з опором R₂:

6) За першим законом Кірхгофа знаходимо струм через резистор R₃: .

7) Правильність розв’язку задачі перевіряємо за допомогою балансу потужності:

Одержуємо, що енергія джерела ЕРС дорівнює енергії, яка виділяється на резисторах. Це є доказом правильності розв’язку задачі.

Задача 2 (приклад зворотної задачі). Для електричного кола (рис.8) задані значення опорів R₁ =10 Ом, R₂=5 Ом, R₃ =10 Ом і струму І₃ = 2А. Визначити струми І₁ , І₂ та ЕРС джерела.

Розв’язання

1) Визначаємо напругу на ділянці аb: .

2) Для розрахунку струму через резистор R₂ скористаємося законом Ома для ділянки кола: .

3) Для знаходження струму І₁ застосуємо перший закон Кірхгофа: .

4) Визначаємо падіння напруги на резисторі R₁: .

5) Знаходимо ЕРС джерела за другим законом Кірхгофа:

6) Для перевірки правильності розв’язку задачі складаємо баланс потужності:

10

.

Рівність лівої та правої частин рівняння балансу є доказом правильності розв’язання задачі.

З адача 3. Для електричного кола, зображеного на рис.3, з такими параметрами: E₁=120B, E₂=20B, E₃= 80B, R₁ = R₂=2 Ом, R₃ =40 Ом, R₃ =50 Ом, визначити всі струми за допомогою методу Кірхгофа.

Розв’язання

Спочатку проводимо структурний аналіз: визначаємо кількість вузлів і незалежних контурів. Потім довільно обираємо напрямки струмів в гілках і напрямки обходу контурів (за годинниковою чи проти годинникової стрілки).

1) Кількість вузлів n=2, тому складаємо одне рівняння за першим законом Кірхгофа для вузла 2:

.

2) Так як кількість незалежних контурів l=3, то складаємо три рівняння за другим законом Кірхгофа:

В результаті маємо систему чотирьох рівнянь, в якій кількість невідомих дорівнює кількості рівнянь.

3) Враховуючи початкові дані, розв’язуємо систему відносно струмів:

Розв’язання цієї системи рівнянь дає значення струмів:

.

Від’ємне значення струму показує, що дійсний напрямок струму протилежний.

Еквівалентні взаємні перетворення “трикутник-зірка”

Нерідко більш складні схеми вдається спростити і розрахувати R_екв, якщо застосувати перетворення "трикутник-зірка"', або "зірка-трикутник".

Необхідно пам'ятати правило, що одну схему можна замі­няти на еквівалентну, якщо при тих же напругах будуть проті­кати ті ж самі струми або, іншими словами, якщо в заданій і еквівалентній схемах будуть рівними відносно затискачів вхідні опори.

Розглянемо перехід від трикутника з опорами R₁₂, R₂₃, R₃₁ до еквівалентної зірки з опорами R₁, R₂, R₃ (рис. 10).

Будемо вважати відомими R₁₂, R₂₃, R₃₁. Виведемо формули для розрахунку R₁, R₂, R₃. Вхідний опір на затискачах 1-2 для трикутника при розірваній гілці 3: . (1)

Вхідний опір на затискачах 1-2 для зірки:

. (2)

Ці вхідні опори повинні бути рівними:

Рис.10.

. (3)

Аналогічно запишемо вхідні опори для затискачів 2-3 та 3-1:

. (4)

. (5)

Звідси:

. (6)

Аналогічно: . (7)

. (8)

Звідси:

. (9)

Розв'яжемо сумісно отримані рівняння (3), (6) та (9). Виконаємо для лівої та правої частин відповідно на­ступні алгебраїчні перетворення (3) - (6) + (9) Тоді отримаємо:

(10)

.

Після скорочень отримаємо:

. (11)

І в решті-решт:

. (12)

Формули для розрахунку R₂ та R₃ можна отримати, якщо виконати аналогічні алгебраїчні перетворення:

(3)+ (6)-(9);

-(3) + (6) + (9).

Також за отриманою формулою (12) можна вивести правило визначення опору променя еквівалентної зірки: Потрібно перемножити опори тих сторін трикутника, які сходяться у вершині і поділити на суму опорів сторін трикутника.

Таким чином, формули для розрахунку R₂ та R₃ запишемо за аналогією з (12):

. (13)

. (14)

Якщо трикутник симетричний, тобто всі його сторони рівні, тоді згідно з формулами (12)-(14) опори променів еквівалентної зірки також будуть рівні:

. (15)

Еквівалентні взаємні перетворення “ зірка-трикутник ”

Рис. 11

Будемо вважати відомими R₁, R₂, R₃. Виведемо формули для розрахунку R₁₂, R₂₃, R₃₁.

Щоб скласти рівняння для такого перетворення, поділимо (14) на (12) відповідно, тобто ліву частину на ліву, а праву на праву, одержимо:

. (16)

Аналогічно поділимо (14) на (13):

. (17)

Підставимо (16) та (17) в (12):

. (18)

Або

. (19)

Звідси: . (20)

По аналогії :

. (21)

. (22)

Перетворення ∆→Υ або Υ→∆ у деяких випадках дає змогу складну схему звести до змішаного з’єднання, тоді легко визначати R_екв на затискачах джерела і розраховуються всі параметри схеми.

Приклад

Характерним прикладом спрощення розрахунків із застосуванням метода перетворення кіл може служити перетворення мостової схеми з’єднання резистивних елементів (рис.6, а). Після заміни частини кола за схемою трикутник еквівалентним колом за схемою зірка все коло (рис.6, б) можна розглядати як змішане з’єднання резистивних елементів.