Примеры:

1. Определим на - мерном пространстве метрику с помощью формулы

Покажем, что - метрика. Выполнимость аксиом 1), 2) очевидна. Для проверки аксиомы 3) воспользуемся известным неравенством Коши - Буняковского:

Имеем

Полагая в неравенстве Коши - Буняковского , получаем

Подставляя правую часть последнего неравенства в предыдущую формулу, имеем

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем неравенство треугольника.

2. На произвольном множестве зададим метрику формулой

Метрика называется дискретной. Выполнимость аксиом метрики очевидна.

3. Отображение , - очевидно, является метрикой. Эта

метрика есть частный случай метрики 1). Эти метрики называются евклидовыми.

4. Если - норма, то , - метрика.

5. Антидискретное пространство не метризуемо, т.к. в нем слишком мало открытых шаров.

6. Рассмотрим множество функций, непрерывных на отрезке , положим

, . Эти отображения являются метриками. Эти метрические пространства обозначаются соответственно и

6. Множество всех ограниченных последовательностей . Положив , получим метрическое пространство, обозначаемое .

7. Пусть состоит из всех упорядоченных групп из действительных чисел. Тогда - метрика. Это метрическое пространство обозначается . Неравенство треугольника в нём имеет вид

(неравенство Минковского).

9. Пусть состоит из всевозможных последовательностей , таких, что . Тогда - метрика. Это пространство обозначается .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема 25. Для любой точки и любого открытый шар является открытым множеством в .

Теорема 26. (О свойствах открытых множеств) Открытые множества в произвольном метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

1. пустое множество  и само множество открыты в ;

2. объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество;

3) пересечение любого конечного семейства открытых множеств есть открытое множество.

Теорема 27. Множество всех открытых шаров метрического пространства является базой некоторой топологии.

Эту топологию называют метрической и говорят, что она порождается метрикой.

Теорема 28. Для того чтобы точка была точкой прикосновения множества , необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность точек из , сходящаяся к .

Теорема 29. (О вложенных шарах) Для того чтобы метрическое прстранство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Теорема 30. (Принцип сжимающих отображений) Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства имеет одну и только одну неподвижную точку.

Теорема 31. Метрики и порождают в одну и ту же топологию, если существуют такие числа , что для любых точек из .