3. Геометрия топологического пространства.

Пусть - топологическое пространство, . Окрестностью точки называется любое открытое множество , содержащее точку .

Пусть подмножество . Точка называется:

1. внутренней точкой множества , если она обладает окрестностью, содержащейся в ;

2. внешней точкой множества , если она обладает окрестностью, не пересекающейся с ;

3. граничной точкой множества , если всякая её окрестность имеет непустое пересечение как с множеством так и с его дополнением в ;

4. точкой прикосновения множества , если всякая её окрестность имеет непустое пересечение с .

1. предельной точкой множества , если всякая ее окрестность пересекается с А\{х}.

2. изолированной точкой множества , если и существует окрестность точки , не пересекающаяся с .

3. предельной точкой множества , если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из .

- множество всех внутренних точек (наибольшее по включению открытое множество, содержащееся в ).

- замыкание множества в топологическом пространстве или множество всех точек прикосновения множества ( наименьшее замкнутое множество в , содержащее ).

- множество всех граничных точек множества (граница ) в топологическом пространстве ( , ).

Внешностью множества ( ) называется наибольшее не пересекающееся с ним открытое множество. Ясно, что внешность совпадает с .

Подмножество топологического пространства называется канонически открытым, если .

Подмножество топологического пространства называется канонически замкнутым, если .

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ.

Теорема 19. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда , т. е. когда содержит все свои точки прикосновения.

Теорема 20. Для любого множества справедливо равенство

Теорема 21. Множество открыто тогда и только тогда, когда

Теорема 22. (О свойствах внутренности множества):

1. ;

2. если , то ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Теорема 23. (О свойствах замыкания):

1) ;

2) если , то ;

3. ;

4. ;

5. .

Теорема 24. (О свойствах границы):

1. ;

2. ;

3. 

Следствие 1. Для любого граница есть замкнутое множество.

Следствие 2. Для любого замыкание , причём .

Примеры:

3.1 В с естественной топологией , .

3.2 Граница множества всегда совпадает с множеством всех своих граничных точек.

3.3 Рассмотрим множества и на вещественной прямой с естественной топологией. Имеем .

3.4 Для множеств рациональных чисел и иррациональных чисел на вещественной

прямой имеем .

3.5 В : , .

3.6 Граница множества совпадает с множеством граничных точек множества .

3.7 Рассмотрим множества и на вещественной прямой с естественной топологией. Имеем .

3.8 Для множеств рациональных чисел и иррациональных чисел на вещественной

прямой имеем .