5.2 Качественные задачи

1

. Проводящая рамка перемещается в поле бесконечного прямолинейного проводника с током:

а) параллельно проводнику;

б) вращаясь вокруг проводника таким образом, что проводник все время остается в плоскости рамки на неизменном расстоянии от нее.

Индуцируется ли ток в рамке в обоих случаях?

2. Определить направление силы, действующей на проводящую рамку (см. п.1), если ток в проводе: а) возрастает, б) убывает.

3

. Вблизи полюса электромагнита висит проводящее кольцо. Магнитный поток, пронизывающий кольцо, изменяется согласно графику. В какие интервалы времени кольцо притягивается к электромагниту? В какие моменты времени сила взаимодействия между электромагнитом и кольцом обращается в нуль?

4 . В однородном магнитном поле скользят друг по другу с равными постоянными скоростями четыре неизолированных провода. Плоскость пересечения провода перпендикулярна линиям индукции поля. Как изменяется индукционный ток в расширяющемся квадратном контуре?

5 . Сравнить взаимные индуктивности длинного провода и проводящей рамки в положении I и II.

6. Ток в обмотке с железным сердечником удвоили. Верно ли, что при этом: а) индукция магнитного поля внутри соленоида удвоилась; б) энергия магнитного поля соленоида увеличилась вчетверо; в) индуктивность не изменилась?

5.3 Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Расчет ЭДС индукции и тока индукции

Метод решения. В случае замкнутого контура изменяющийся магнитный поток целесообразно представить как функцию времени. Тогда ЭДС или ток индукции могут быть найдены последующим дифференцированием этой функции:

; .

Направление тока или знак ЭДС зависят от знака производной .

Если дан отдельный проводник, движущийся в магнитном поле, то при использовании приведенных формул под dФ следует понимать абсолютное значение магнитного потока, пересеченного проводником за время dt его движения. Знак ЭДС следует определять независимо от расчета. В этом случае ЭДС индукции можно находить и как удельную работу сторонней силы, роль которой играет магнитная составляющая силы Лоренца.

2. Задачи на явление само- и взаимоиндукции; расчет экстратоков замыкания и размыкания; вычисление индуктивности и взаимной индуктивности.

Метод решения. Использование формул для само- и взаимоиндукции, представляющих частный случай явления электромагнитной индукции. Необходимо обращать внимание на то, что индуктивность и взаимная индуктивность зависят от геометрии проводников, их взаимного расположения и магнитных свойств среды. Эти коэффициенты не зависят от силы тока только при отсутствии ферромагнетиков.

3. Расчет энергии магнитного поля.

Метод решения. Применение формул, определяющих собственную энергию тока и объемную плотность энергии магнитного поля.

б) Примеры решения задач

1. В однородном магнитном поле с индукцией 10,0·10^-2 Тл расположена прямоугольная рамка аbсd, подвижная сторона которой ad длиной l = 0,1 м перемещается со скоростью υ = 25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля. Определить ЭДС индукции, возникающую в контуре abcd.

Решение.

З

адача решается двумя способами: или с применением закона Фарадея, или с применением силы Лоренца.

1. Магнитный поток Ф сквозь рамку возрастает, что ведет к возникновению вихревого электрического поля, а значит, согласно закону Фарадея, в рамке появляется ЭДС индукции

Ф = BS = Blx;

,

где - скорость перемещения проводника ad.

Поэтому

-2,5·10^-2 В.

Знак “-” показывает, что ЭДС индукции действует в контуре в таком направлении, при котором связанная с ним правилом правого винта нормаль к контуру противоположна вектору (т.е. направлена к наблюдателю). Таким образом, ЭДС индукции, а значит, и индукционный ток направлены в контуре abcd против часовой стрелки.

2. В связи с тем, что действующая в цепи ЭДС измеряется работой сторонних сил (т.е. сил неэлектрического происхождения) при перемещении вдоль замкнутой цепи единичного положительного заряда, можно записать

.

При движении в магнитном поле проводника ad вместе с ним движутся со скоростью υ его свободные заряды. Поэтому на каждый из них действует сила Лоренца, выполняющая роль сторонней силы. Так как и , то F_Л = qυB.

.

Согласно сила Лоренца, действующая на положительный заряд в проводнике ad, направлена от d к а, т.е. ток в рамке abcd направлен против часовой стрелки.

Замечание. При решении задачи не принималось в расчет магнитное поле, созданное индукционным током. Это поле образует некоторый поток Ф’ сквозь рамку. При движении проводника ad поток Ф’ изменяется, что приводит к появлению дополнительной ЭДС. Очевидно, этот эффект тем слабее, чем меньше сила тока.

2. На картонный тор прямоугольного сечения, размеры которого показаны на рисунке, навиты две обмотки. Число витков N₁ = 400, N₂ = 300. По обмоткам течет ток силой I = 3 А одного направления. Определить индуктивность и энергию системы. Какое количество электричества пройдет через медное кольцо с сопротивлением R = 0,8 Ом, надетое поверх обмоток на тор, при выключении тока?

Решение.

М агнитное поле сосредоточено внутри обмотки тора. Токи в обоих обмотках направлены одинаково, следовательно, магнитные поля сонаправлены и потоки, пронизывающие каждую из обмоток, положительны. Тогда индуктивность системы

(1)

где L₁, L₂ – индуктивности каждой из обмоток; L₁₂ – взаимная индуктивность.

Эти коэффициенты могут быть найдены из выражений

L₁I = N₁Ф₁₁; L₂I = N₂Ф₂₂; L₁₂I = N₁Ф₂₁ = N₂Ф₁₂, (2)

где Ф₁₁, Ф₂₂ – собственные магнитные потоки; Ф₂₁, Ф₁₂ – “чужие” магнитные потоки (например, Ф₁₁ – поток, созданный первой обмоткой и пронизывающий один из витков этой обмотки; Ф₂₁ – поток, созданный второй обмоткой и пронизывающий один из витков первой обмотки).

Индукция магнитного поля внутри витков тороида может быть рассчитана по закону полного тока:

. (3)

Вследствие симметрии тока контуру интегрирования следует придать форму концентрической окружности, радиус r которой удовлетворяет условию R₁ < r < R₂. при выборе направления обхода контура по линии индукции , В = сonst во всех точках контура. Тогда

. (4)

Если поле создано витками первой обмотки, то .

Тогда уравнение (3) с учетом (4) примет вид

.

Для расчета потока Ф_II следует выбрать элементарную площадку dS = bdr. Тогда

. (5)

Аналогично:

;

;

.

Подставив полученные выражения в (2) и (1), получим

Гн.

Энергия системы найдется из выражения

Дж.

При выключении тока в обмотке магнитный поток, пронизывающий медное кольцо, надетое на тор, уменьшится до нуля и в кольце появится ток индукции .

Количество электричества, проходящее вследствие этого по кольцу,

,

где τ – время прохождения тока индукции в кольце, Ф_τ = 0;

Ф₀ – суммарный магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную кольцом, при силе тока J в обмотке тора. Поскольку поле сосредоточено только внутри тороида,

то ,

где В₁ и В₂ – индукция магнитного поля, созданного первой и второй обмотками соответственно.

Произведя интегрирование, получим

и окончательно

12·10^-6 Кл.

3

. В цепи, схема которой изображена на рисунке, R₁ = 5 Ом, R₂ = 95 Ом, L = 0,34 Гн, ε = 38В. Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. Определить силу тока в резисторе R₂ в трех случаях: 1) до размыкания цепи; 2) в первый момент после размыкания; 3) через 0,01 с после размыкания.

Решение.

Силу тока I₂ до размыкания цепи находим по правилу Кирхгофа (контур abcd):

I₂R₂ + Ir = ε,

где I – сила тока в батарее; r – внутреннее сопротивление источника.

A.

Найдем силу тока в резисторе R₂ сразу после размыкания ключа К. Если до размыкания цепи участки bc и ef были соединены параллельно, то после отключения батареи образуют неразветвленный контур befcb. Значит, по ним должен течь одинаковый ток. Так как из двух участков только ef обладают индуктивностью, то именно I₁, проходивший до размыкания цепи по этому участку, должен сохраниться, а I₂ в резисторе R₂ вследствие практически линейной инертности сразу исчезнет после отключения батареи и по всему контуру befcb потечет ток, равный I₁:

А.

3. Так как цепь отключена от батареи и ток начнет убывать по закону , то в заданный момент времени величину можно определить по формуле

А.