3. Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях

3.1. Основные формулы

1. Формула Лоренца

,

где - результирующая сила, действующая на движущийся заряд q, если на него действует электрическое поле напряженностью и магнитное поле индукцией .

2. Основные соотношения релятивистской механики: релятивистская масса частицы

;

уравнение движения

;

кинетическая энергия

.

3.2 Качественные задачи

1

. Два электрона движутся в одном и том же магнитном поле с радиусами R₁ и R₂ (R₂ > R₁). Сравнить их угловые скорости.

2. Пучок заряженных частиц, влетающих в однородное магнитное поле, расщепляется. Какая траектория соответствует: а) большему импульсу, если q₁ = q₂; б) большему заряду, если p₁ = p₂ ?

3

. Вблизи длинного прямолинейного проводника с током пролетел электрон перпендикулярно проводу. Определить направление магнитной силы, действующей на электрон.

4

. В магнитном поле двух бесконечно длинных параллельных прямоугольных проводников с одинаковыми токами пролетает электрон. Как направлена магнитная сила, действующая на электрон в точке А.

5

. Две положительно заряженные частицы движутся во взаимно перпендикулярных направлениях. Отличны ли от нуля магнитные силы, действующие на частицы 1 и 2, в тот момент, когда вторая частица оказалась на линии скорости первой?

6. Как изменится радиус винтовой траектории электрона в однородном магнитном поле, если увеличить: а) скорость электрона, не изменяя угол между скоростью и линиями индукции; б) индукцию магнитного поля?

7

. Электрон летит прямолинейно в однородном электромагнитном поле, представленном суперпозицией взаимно перпендикулярных электрических и магнитных полей. Указать направление скорости электрона.

3.3. Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

В данный раздел включены задачи, связанные с движением заряженных частиц только в электрическом или только в магнитном поле, а также задачи, в которых рассматривается движение заряженных частиц в одновременно действующих электрическом и магнитном полях.

Метод решения. Применение формулы Лоренца, основного закона динамики и кинематических уравнений движения.

Если скорости частиц, ускоренных электрическим полем, достигают значений, соизмеримых со скоростью света в вакууме, то следует использовать основные соотношения релятивистской механики.

б) Примеры решения задач

1

. Электрон влетает со скоростью υ₀=10⁷ м/с в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам, длина которых l = 5 см. Напряженность электрического поля конденсатора Е = 10 кВ/м. При вылете из него электрон попадает в однородное магнитное поле, направленное вдоль вектора ₀. Магнитная индукция этого поля В = l5 мТл. Определить траекторию электрона в магнитном поле.

Решение.

На электрон в электрическом поле конденсатора действует постоянная электростатическая сила F = eE, направленная вниз и сообщающая электрону ускорение a = eE/m. Поэтому он начнет двигаться по параболе, а выйдя из поля конденсатора - снова будет двигаться прямолинейно под углом α к вектору скорости ₀.

Вертикальную составляющую скорости электрона при вылете из конденсатора найдем по формуле

.

При попадании электрона в магнитное поле, составляющее угол α с направлением скорости υ, он будет двигаться по винтовой линии. Радиус винтовой линии определится из условия

, откуда

Шаг винтовой линии h = υ₀T, где .

Таким образом, ; h = 2,4 см.

2. В циклотроне протоны ускоряются до кинетической энергии Е_к = 300 МэВ. Оставляя частоту изменения направления электрического поля постоянной, найти такой закон изменения индукции В от радиуса кривизны траектории протонов в дуантах, при котором напряженность электрического поля между дуантами будет всегда сонаправлена скорости протонов. Определить максимальный радиус полуокружности, по которой протоны движутся в дуантах. Индукция магнитного поля B₀ = 0,7 Тл.

Решение.

Принцип действия циклотрона состоит в том, что заряженная частица многократно проходит ускоряющее электрическое поле, локализованное в пространстве между дуантами. Внутри дуанта частица под действием магнитного поля движется по дуге окружности радиусом r. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то она не меняет модуль скорости, а изменяет ее направление.

Уравнение движения протона в магнитном поле, с учетом зависимости массы от скорости, можно записать в виде

,

откуда .

Таким образом, радиус кривизны траектории возрастает по мере ускорения частицы. Исходя из условия, что время движения протона по дуге полуокружности в одном из дуантов не должно зависеть от скорости, т.е.

,

найдем соотношение между В и В₀:

.

Откуда

.

Это и есть зависимость B(r), при которой напряженность электрического поля и скорость протонов между дуантов остаются все время сонаправленными, причем частота изменения направления электрического поля постоянна. Индукция поля возрастает по мере увеличения скорости протонов.

Для расчета максимального радиуса кривизны траектории определим соответствующее значение скорости из выражения для полной энергии протона

,

откуда ,

где E₀ = mc² = 940 МэВ – энергия покоя протона. Тогда

.

Полная энергия протона Е = Е₀ +Е_к = 1240 МэВ, а максимальный радиус кривизны r = 2,9 м.