1.3. Основные типы задач и методы их решения

а) Классификация

1. Определение индукции магнитного поля движущегося заряда.

Метод решения. Применение формулы, определяющей магнитное поле движущегося заряда.

2. Определение индукции магнитного поля, создаваемого провод­никами с током произвольной конфигурации.

Метод решения. Прямое интегрирование выражения

по всем элементам тока.

Расчет упрощается, если использовать формулы для простейших полей, полученных на основании закона Био-Савара-Лапласа.

3. Определение магнитной индукции полей, обладающих специ­альной симметрией.

Метод решения. При наличии специальной симметрии (поле прямого тока, поле соленоида и тороида) наиболее эффективно использование теоремы о циркуляции вектора В.

б) Примеры решения задач

1. По контуру, изображенному на рисунке, идет ток силой 10 А. Определить магнитную индукцию в точке 0, если радиус дуги = 10 см, = ό0°.

Р

ешение.

В силу принципа суперпозиции полей

.

Магнитную индукцию, создаваемую дугой АВ, найдем путем интегрирования;

,

Для нахождения магнитной индукции, создаваемой проводником ВС, воспользуемся формулой

,

где = 30°, 90°, .

С учетом данных значений

.

Магнитная индукция , создаваемая проводником СА в точке 0, равна нулю, т.к. для любого элемента [ ]=0. Поскольку вектор направлен от наблюдателя, а вектор - к наблюдателю, то результирующая индукция равна

, .

2. Постоянный ток течет вдоль бесконечно длинного провода, имеющего круглое сечение радиусом . Найти индукцию поля снаружи и внутри провода.

Решение.

Из симметрии задачи следует, что линии вектора в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода, причем модуль вектора должен быть одинаков в

о всех точках на расстоянии от оси провода. По теореме о циркуляции вектора для контура L₁:

,

откуда следует, что вне провода

.

Внутри провода, из тех же соображений симметрии следует, что линии являются тоже окружностями. По теорема о циркуляции В для контура L₂:.

,

где ток, охватываемый данным контуром. Отсюда находим, что внутри провода

Зависимость можно представить графически

1.4. Задачи для самостоятельного решения и контрольных заданий

1. Электрон движется прямолинейно и равномерно со скоростью v = 3,0∙10⁵ м/с. Найти индукцию поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии r =1,0 ∙10^-9 м от него и лежащей на перпендикуляре к , проходящем через мгновенное положение электрона.

Ответ: В = 4,6 мТл.

2. Электрон движется прямолинейно с постоянной скоростью υ = 0,2 Мм/с. Определите магнитную индукцию В поля, создаваемого электроном в точке, находящейся на расстоянии r = 2 нм от электрона и лежащей на прямой, проходящей через мгновенное положение электрона и составляющей угол α = 45º со скоростью движения электрона.

Ответ: B = 566 мкТл.

3.Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии 10 см друг от друга, По проводникам текут токи А в противоположных направлениях. Найти величину и направ­ление магнитной индукции поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника.

Ответ: В = 1 Тл.

4

. Два бесконечно длинных прямых проводника скрещены под прямым углом. По проводникам текут токи 80 А и =60А. Рассто­яние между проводниками см. Чему равна магнитная индукция в точках А и С, одинаково удаленных от обоих проводников?

Ответ: .

5. Вычислить магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком AB прямолинейного проводника с током в точке С, расположенной на перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 6 см от не­го. По проводнику течет ток 30 А. Отрезок АВ проводника виден из точки С под углом 90°.

Ответ: 7,05∙10^-5 Тл.

6

. Бесконечно длинный прямой проводник согнут под прямым углом. По проводнику течет ток 100 А. Вычислить магнитную индукции в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины угла на = 20 см.

Ответ: , .

7

. Длинный провод с током I = 50 А изогнут в точке О под углом 120°. Определить магнитную индукцию в точке А, расположенной на биссектрисе этого угла на расстоянии d = 5 см от точки О.

Ответ: 3,46∙10^-4 Тл.

8. По тонкому проводящему кольцу радиусом = 10 см течет ток = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке, равноудаленной от всех точек кольца на = 20 см.

Ответ: = .

9. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз из­менилась магнитная индукция в центре контура?

Ответ:

10. Катушка длиной 20 см содержит = 100 витков. По об­мотке катушки идет ток = 5 А. Диаметр катушки = 20 см. Опре­делить магнитную индукцию в точке, лежащей на оси катушки на рас­стоянии = 10 см от ее конца.

Ответ:

11. Магнитная индукция В на оси тороида без сердечника (внешний диаметр тороида = 60 см, внутренний = 40 см), содержащего = 200 витков, составляет 0,16 мТл. Пользуясь теоремой о цирку­ляции вектора В, определить силу тока в обмотке тороида.

Ответ:

12. По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R=2 см течет ток плотностью j=10⁴ а/м². Рассчитать индукцию магнитного поля на расстоянии r₁ = 1 см и r₂= 3 см от оси проводника.

Ответ : В₁=6,3∙10^-5 Тл; В₂=8,4∙10^-5 Тл.