3.5. Метод наименьших квадратов

Пусть имеются данные наблюдений в точках , , , …, некоторой величины и получены соответствующие значения , , , …, .

Необходимо подобрать функцию определённого вида , чтобы она по возможности наиболее точно отражала общую зависимость измеряемой величины от параметров (координат) точек измерения .

При обработке данных экономической статистики наиболее распространённым является приближение эмпирической формулой в виде линейной функции одной переменной .

Неизвестные параметры эмпирической функции и необхо­димо определить так, чтобы значения функции по возможности наименее всего отклонялись от измеренных значений.

Метод наименьших квадратов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений функции в точках , , , …, как функции двух аргументов – неизвестных параметров и от изме­ренных значений , , , …, .

Для нахождения точки минимума функции найдём частные производные этой функции по переменным и и приравняем их к нулю.

Коэффициенты и определяются из системы так называемых нормальных уравнений.

Пример 25. В результате эксперимента для пяти значений аргумента получены пять значений величины .

	-2	0	1	2	4
	0,5	1	1,5	2	3

Методом наименьших квадратов найти функциональную зависи­мость между и в виде линейной функции .

Решение

Значение параметров и найдём из системы . Выполним необходимые вычисления:

Запишем систему:

Решим систему по формулам Крамера:

Значит , .

Функция имеет вид .

4. Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка

4.1. Основные понятия

Уравнение вида

,

где - независимая переменная;

, - неизвестная функция и её производная,

называется дифференциальным уравнением первого порядка.

В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид

.

Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Например:

, , .

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Например, функция является решением дифференциаль­ного уравнения , так как .

Теорема Коши (о существовании и единственности решения)

Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию при .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.

Условия, которые задают значение функции в точке , называют начальными условиями и записывают

или .

Задача нахождения решения , удовлетворяющего условию , называется задачей Коши.

Общим решением уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении .

Частным решением называется функция , полученная при определённом значении .

Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения .

Уравнение , где - некоторое конкретное значение постоянной , называется частным интегралом.