3. Функции нескольких переменных

3.1. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня

Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными (аргументами), - зависимой переменной (функцией). Множество называют областью определения функции.

В экономических приложениях широко используются линейные и нелинейные функции переменных.

Примеры

1. Функция , где , , …, - числа, называется линейной функцией нескольких переменных, если , то - линейная функция двух переменных. Функции , , являются нелинейными.

2. Функция представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД), где - величина общественного продукта, - затраты труда, - объём производственных фондов.

3. Функция выражает величину вклада через лет при ставке %.

Для упрощения записи ограничимся случаем функции двух переменных. Однако рассмотренная теория справедлива, если число переменных равно трём, четырём и т.д. Функцию двух переменных будем обозначать .

Графиком функции двух переменных и называется множество точек трёхмерного пространства таких, что . График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трёхмерном пространстве, а область определения есть подмножество координатной плоскости .

Для изучения поведения функции двух переменных используют понятие линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество таких точек плоскости, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно . Число называется уровнем.

Уравнение семейства линий уровня

или .

Пример 19. Построить линии уровня функции .

Решение

Уравнение линий уровня

или .

Приведём к виду . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 0) и радиусом (рис.4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом . Точка (-1; 0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению .

Рис. 4

3.2. Частные производные и градиент

Пусть - функция двух переменных. Первая производная функции по переменной при фиксированной переменной называется (первой) частной производной функции по переменной , символически записывают так:

или , или , или .

Аналогично определяется (первая) частная производная функции по переменной :

или , или , или .

При нахождении частной производной надо считать постоянной переменную . При этом сохраняются все известные правила дифференцирования.

Пример 20. Найти частные производные:

а) ; б) .

Решение

а)

.

.

б) При фиксированном имеем показательную функцию

.

При фиксированном имеем степенную функцию

.

Упорядоченная пара частных производных или функции двух переменных обозначается символом или и называется градиентом функции двух переменных. Градиент функции двух переменных есть двумерный вектор.

Градиент функции в точке показывает направление самого быстрого роста функции в точке .

Пример 21. Для функции двух переменных :

а) построить линию уровня, проходящую через точку (1; 9);

б) найти градиент в этой точке;

в) построить градиент.

Решение

а) Найдём уровень , который равен частному значению функции в точке (1; 9): .

Уравнение линии уровня имеет вид

или , или , или - гипербола (рис. 5).

б) Найдём

, ,

, ,

.

в) Строим вектор выходящим из точки . Конец вектора в точке с координатами

, .

Рис. 5

Градиент всегда перпендикулярен линии уровня , проходящей через точку .