2.3. Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда пло­щадь под кривой на численно равна определённому интегралу , то есть

.

Пример 14. Найти площадь фигуры (рис.1), ограниченной ли­ниями , , , .

Рис. 1

Решение

Фигура заключена между графиками функций и . Площадь находим как разность площадей

.

Вычисление объёма тела вращения. Пусть - непре­рывна и неотрицательна на (рис.2). Тогда тело, образованное враще­нием вокруг оси криволинейной трапеции , имеет объём

.

Рис. 2

Пример 15. Найти объём тела (рис.3), полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями , , , .

Рис. 3

Решение

Искомый объём равен

.

Экономические приложения определённого интеграла

Пример 16. Дана функция предельных издержек

, ,

где - объём выпускаемого товара. Найти функцию издержек

и вычислить издержки в случае производства 10 единиц товара, если известно, что издержки для производства первой единицы товара составили 30 рублей.

Решение

Известно, что предельные издержки есть производная от функции издержек , т.е. . Значит, функцию издержек находим интегрированием

.

Для заданной функции имеем

или

.

Из условия найдём . Тогда получаем,

.

При вычислим .

Пример 17. Функция изменения затрат времени на изготовление изделий имеет вид . Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до .

Решение

Если известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где - порядковый номер изделия в партии, то среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от до , вычисляется с помощью интеграла

.

В нашем случае

.

2.4. Несобственные интегралы

При определении определённого интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В этом случае соответствующие интегралы называются несобственными.

Пусть функция интегрируема на каждом конечном отрезке , т.е. существует определённый интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел

.

Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что расходится.

Итак,

.

Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

.

Или с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования .

.

Если существуют несобственные интегралы и , то существует и несобственный интеграл , независящий от выбора промежуточной точки .

Пример 18. Найти несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение

а) По определению имеем

Несобственный интеграл сходится и равен .

б)

.

Интеграл сходится.

в)

.

Интеграл расходится.

Кроме несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования в литературе рассматриваются несобственные интегралы от неограниченных функций. Предлагаем изучить этот материал самостоятельно.