МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
МАГНИТОГОРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Г.И. НОСОВА
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В ЭКОНОМИКЕ
ИНТЕГРАЛЫ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к работе №2 для студентов заочной формы обучения специальностей
Магнитогорск
2008
Составители: О.С. Андросенко,
Т.Г. Кузина
Интегралы. Функции нескольких переменных. Дифференциальные уравнения: Методические указания к работе №2 для студентов заочной формы обучения специальностей. Магнитогорск: МГТУ, 2008. 53 с.
Рецензент: Т.В. Морозова
© Андросенко О.С., Кузина Т.Г., 2008
1. Неопределённый интеграл и его свойства
1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
В дифференциальном исчислении решается
задача: по данной функции
найти её производную (или дифференциал).
Интегральное исчисление решает обратную
задачу: найти функцию
,
зная её производную
(или дифференциал). С такой задачей мы
встречаемся и в экономике, например,
при нахождении функции оборотных средств
по известной скорости формирования
оборотных средств.
Функция
называется первообразной для функции
на интервале
,
если для любого
выполняется равенство
Например, первообразной функции
,
является функция
,
действительно
.
Первообразными будут также функции
(
- постоянная), которые также удовлетворяют
условию .
Если
первообразная для
,
то выражение
,
где
- произвольная постоянная, называется
неопределённым интегралом от функции
и обозначается символом
,
где
- подынтегральная функция,
- подынтегральное выражение,
- переменная интегрирования.
Таким образом,
Например,
.
Нахождение первообразной по её производной или отыскание неопределённого интеграла по данной подынтегральной функции называется интегрированием данной функции. Интегрирование – операция, обратная дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от полученного результата и убедиться, что получена подынтегральная функция.
1.2. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
Производная от неопределённого интеграла
равна подынтегральной функции;
дифференциал от неопределённого
интеграла равен подынтегральному
выражению, т.е.
;
.
Неопределённый интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции
плюс произвольная постоянная, т.е.
.
Постоянный множитель можно вынести из
под знака неопределённого интеграла,
т.е.
.
Неопределённый интеграл от алгебраической
суммы функций равен сумме интегралов
от слагаемых, т.е.
.
Приведём таблицу основных интегралов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Справедливость формул проверяется дифференцированием.
Вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и простейших приёмов называется непосредственным интегрированием.
Пример 1. Найти
.
Решение
Применив свойства и , имеем
=
+
-
-
.
Далее находим интегралы с использованием табличных формул:
;
;
;
.
Таким образом,
=
+
+
+
.
Обычно, все произвольные постоянные суммируют, результат обозначают одной буквой, поэтому
= + +
+ .
Пример 2. Найти интегралы, разложив подынтегральную функцию в сумму функций:
а)
;
б)
;
в)
.
Решение
а) Применяя формулу сокращенного умножения и умножая почленно, преобразуем подынтегральную функцию в сумму:
.
б) Разделим почленно числитель и знаменатель, применим свойства , и табличные интегралы III, IV.
.
в) Для разложения подынтегральной функции в сумму функций разделим числитель и знаменатель «углом».
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
,
тогда
.