§ 5. Обобщенное однородное уравнение

Уравнение , (5.1)

можно привести к уравнению с разделяющимися переменным, если оно является обобщенным однородным, т.е. если существует такое число k, что левая часть уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx, dy, при этом считается, что x величина первого измерения, y величина k – го измерения (ясно, что тогда величины dx и dy соответственно нулевого и (k-1) – го измерения; величина (k-1) – го измерения). Если такое k найдено, то после замены

уравнение (5.1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

П. 5.1 .

Члены левой части имеют соответственно измерения .

Измерения всех членов должны быть равными. Из этого условия находим k :

. Делаем замену . С другой стороны из уравнения

,

. Так как , то

∫ 3∫ , ,

, , - общее решение.

П. 5.2 .

Иэмерения членов , , соответственно равны 2+2k+k-1, k-1, 3k+1; из равенств 3k+1=k-1=3k+1 находим уравнение обобщенное однородное. Делаем замену . С другой стороны

,

∫ ∫ . Так как , то

∫ ∫ ,

- общий интеграл.

П. 5.3 .

Иэмерения членов , , соответственно равны

из равенств 5k-1=k+1=k+1 . Делаем замену , =

= . С другой стороны

, . Так как

, то 2∫

=∫ , , , - общий

интеграл.

§ 6. Линейное уравнение первого порядка

Дифференциальное уравнение

(6.1)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Делаем замену , где – функции от x. Так как , то после подстановки и в уравнение (6.1), получаем или, группируя члены,

(6.2)

Функцию выберем так, чтобы выполнялось равенство

, или . Пусть решением этого дифференциального уравнения с разделенными переменными является функция , тогда при таком выборе функции v из уравнения (6.2) получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными или ,

. Пусть общим решением этого уравнения является функция , тогда функция - общее решение уравнения (6.1).

РЕЗЮМЕ:

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка сводится к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными:

и , искомая функция .

П.6.1

Убеждаемся, что уравнение линейное первого порядка относительно искомой функции , причем Делаем замену тогда . Подставляем y и в последнее уравнение: Группируем Функцию v находим из условия . Разделяем переменные v и x:

или , . Интегрируя последнее уравнение, находим , . получаем из сгруппированного уравнения, что или

Сокращаем на : , . Таким образом, общим решением заданного уравнения является функция .

П.6.2

Вначале представим уравнение в стандартном виде:

Убеждаемся, что оно линейное первого порядка относительно искомой функции у(x) . Далее поступаем по шаблону. Делаем замену . В последнее уравнение подставляем новые значения и и группируем члены :

, далее, решаем дифференциальное уравнение

, , т.к. , то получаем, что , , . Решая дифференциальное уравнение , находим u: , , , c – постоянная интегрирования. Т.о., - общее решение.

П.6. 3 Найти частное решение уравнения , удовлетворяюшее начальным данным

, .

Делаем замену , тогда ; далее, по шаблону находим , , т.к. , то , , , - общее решение.

Используя начальные данные, находим частное решение:

- частное решение.

Иногда линейное уравнение задают в дифференциалах, при этом линейность уравнения явно не видна, что создает трудности в определении типа уравнения. В таком случае надо уравнение привести к стандартному виду.

П.6. 4 .

После деления обеих частей уравнения на , получаем линейное уравнение:

.

Более ”хитрый ” случай: уравнение не является линейным относительно функции Y(x), но относительно функции X(y) уравнение линейно.

П.6. 5

Ясно, что уравнение не является линейным относительно функции Y(x). Однако его можно привести к линейному относительно функции X(y).

Т.к. , то ; тогда или

- линейное уравнение относительно функции X(y).

Решаем его по шаблону: ; находим u и v; , ,

, . Берем интеграл по частям: , - - общее решение.

П. 6.6

После деления обеих частей уравнения на получаем линейное уравнение относительно функции X(y): , решая его, находим