§ 2. Простейшее дифференциальное уравнение
Интегрируя
n раз обе части
уравнения, найдем общее решение, зависящее
от n констант
П. 2.1 Найти
частное решение уравнения
с начальными данными: при x=0 y=1,
.
Интегрируем дважды
,
Из начальных
условий следует:
Таким образом,
.
§ 3. Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
(3.1)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Умножая
обе части уравнения на
,
получаем уравнение
(3.2)
В уравнении (3.2) коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy зависит только от y. Значит, в уравнении (3.2) переменные разделены. Интегрируя, получаем:
∫
+∫
П.3.1
.
Найти частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным данным:
при x=1, y=1.
Преобразуем
уравнение
;
.
Умножая оби части уравнения на
,
получаем уравнение с разделенными
переменными
.
Интегрируем:
∫
+∫
;
∫
+∫
;
;
.
По начальным данным находим c (в последнее уравнение подставляем x=1, y=1):
1+1+0=c,
c=2;
- искомое частное решение.
П. 3.2
Заменяем
на
:
,
переменные
разделились.
Интегрируем: ∫
=∫
,
,
-
общее решение.
Практически решение большинства типов дифференциальных уравнений сводится к решению уравнений с разделяющимися переменными, методы сведения разнообразны и зависят от типа уравнения.
Например, в уравнении
(3.5)
где a и b константы можно разделить переменные, сделав замену z=ax+by.
Так
как
,
то
,
переменные разделились,
интегрируем
∫
=∫
.
§ 4. Однородные уравнения
Уравнение
,
(4.1)
в котором M
и N - однородные
функции одной и той же степени, называется
однородным уравнением. Функция
f(x,y)
называется однородной функцией степени
k, если при всех
t выполняется тождество
.
Например, функция
– однородная второй степени, т.к.
;
функция
– однородная первой степени; функция
- однородная третьей степени.
Записываем уравнение (4.1) в виде :
.
Делаем
замену
.
Пусть функции
имеют степень однородности k , тогда
-
уравнение с
разделенными переменными. Пусть
общее решение последнего уравнения,
тогда
- общее решение уравнения (4.1).
П.
4.1.
.
M(x,y)=x(x+2y),
N(x,y)=x2-y2.
Легко проверить, что функции M
и N однородные
второй степени. Делаем замену y=zx;
находим
:
.
С другой стороны из заданного уравнения
или
,
,
.
Так как
,
то
∫
=
=∫(
),
,
подставляя вместо
,
получаем общий интеграл:
.
П. 4.2.
Функции M=y и
N=y-x
однородные первой степени. Поступаем
по шаблону: y=zx,
,
∫
∫
, или ∫
∫
,
,
подставляя в это уравнение
,
находим общий интеграл:
,
,
.
П. 4.3.
.
Выделить интегральную
кривую, проходящую через точку
т.е. найти частное решение,
удовлетворяющее начальным данным:
.
Уравнение
однородное первой степени. Делаем
замену y=zx,
,
,
или
,
∫
∫
,
,
подставляя в это уравнение
,
находим
,
,
подставляя начальные данные, находим
0+
,
с=1
- искомое частное решение.