Свойства степенных рядов.
Пусть функция является суммой степенного ряда
,
интервал сходимости которого .
В этом случае говорят, что на интервале функция разлагается в степенной ряд (или в ряд по степеням х).
Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов.
Если функция
на интервале
разлагается в степенной ряд, то она
дифференцируема на этом интервале и ее
производная
может быть найдена почленным
дифференцированием ряда, т.е.:
.
Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции . При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и степенной ряд.
Если функция
на интервале
разлагается в степенной ряд, то
она интегрируема в интервале
и интеграл от нее может быть вычислен
почленным интегрированием степенного
ряда, т.е., если
,
то:
+
+
+
… +
+....
Теорема. Если функция на интервале разлагается в степенной ряд:
,
то это разложение единственно.
Пусть функция бесконечное число раз дифференцируема в точке , тогда в окрестности этой точки функция раскладывается в степенной ряд:
,
называемый рядом Тейлора.
При
функция
разлагается в степенной ряд:
,
называемый рядом Маклорена.
Для того чтобы
ряд Маклорена сходился
на
и имел своей суммой
функцию
,
необходимо и
достаточно, чтобы на
остаточный член
формулы Маклорена
стремился к нулю при
,
т.е.
для любого
.
Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
;
;
;
Лекции 13-21. Дифференциальные уравнения
Обыкновенным
дифференциальным уравнением называется
равенство, содержащее независимую
переменную x, неизвестную
функцию y и её производные
:
(1.1)
Порядок старшей
производной уравнения (1.1) называется
порядком урав-нения.. Решением
уравнения (1.1) называется
функция
,
обращающая уравнение в тождество.
Процесс нахождения решения называется
интегрированием дифференциального
уравнения. График решения на
плоскости (x,y) называется
интегральной кривой.
Например, функция
удовлетворяет уравнению
и поэтому является его решением , однако
это решение не единственно, т.к. семейство
функций
,
где c – произвольная
константа, также решение уравнения.
Говорят, что функция (семейство функций)
является общим решением. Общее
решение может быть найдено в явном,
параметрическом или неявном виде, в
любом случае оно должно зависеть от n
констант
Если общее решение получено в неявном
виде, то его часто называют общим
интегралом уравнения.
Всякое решение,
получающееся из общего при некоторых
конкретных значениях констант, называется
частным решением. Так, в рассмотренном
примере решение
является частным, оно получается из
общего при
Задачу нахождения частного решения в
общей постановке можно сформулировать
следующим образом:
найти частное решение уравнения (1.1) , удовлетворяющее условиям:
(1.2)
Геометрически это означает, что интегральная кривая частного решения должна проходить через точку (x0,y0) и иметь заданные производные в этой точке, равные указанным значениям. Условия (1.2) называются начальными данными.
В общем случае не всякое решение получается из общего при конкретных (числовых) значениях констант. Решение, которое не содержится в общем решении ни при каких чис-
ловых значениях констант, называется особым решением.
При решении дифференциальных уравнений следует иметь в виду, что существуют типы уравнений, для которых известны шаблонные методы решения. Поэтому процесс решения разбивается, как правило, на три этапа:
Распознание типа решаемого уравнения либо приведение его к известному типу.
Применение известного шаблонного метода решения к распознанному уравнению.
Интегрирование уравнения (взятие интегралов).
Первый этап - идеологический, требует навыка, опыта, набитие руки. Второй этап - справочный, требует хорошей памяти, умения запоминать. Третий этап - технический, требует владения техникой интегрирования (взятие неопределенных интегралов).
Учитывая, что
, иногда дифференциальное уравнение
записывают в диф-ференциалах. Например,
уравнение
можно записать в виде
.
Рассмотрим некоторые типы уравнений и методы их решения.