Двойные и тройные интегралы.

Вычисление двойного интеграла по области от функции производится по формуле

, (1)

если область определяется неравенствами и по формуле

(2)

если область определяется условиями

Вычисление тройного интеграла аналогично формулам (1), (2) к нахождению трех повторных определенных интегралов. Значения двойного или тройного интегралов и равны, соответственно, площади плоской фигуры и объему тела .

Несобственный интеграл. Сходимость несобственных интегралов

Несобственные интегралы.

Когда нами было введено понятие определенного интеграла, мы предполагали, что интервал интегрирования имеет конечную длину, а также необходимым условием интегрируемости является ограниченность функции. На этом занятии мы обобщим понятие определенного интеграла на случаи неограниченного интервала интегрируемости и на случай неограниченной функции. Такие интегралы называются несобственными интегралами. Интеграл по неограниченному промежутку интегрирования называется несобственным интегралом I рода, а интеграл от неограниченной функции – несобственным интегралом II рода.

Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале [a;¥] называется предел интеграла при b®¥, то есть

.

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.

С помощью формулы Ньютона – Лейбница получаем

[F(b)-F(a)]=F(¥)-F(a) на интервале [a,¥),

F(a)-F(-¥) на интервале (-¥;a].

Если функция f(x) определена и непрерывна на всей числовой оси, то можно рассматривать несобственный интеграл в интервале (-¥+¥)

.

Если оба интеграла в правой части сходятся, то интеграл называется сходящимся.

Если первообразная F(x) известна, то

=F(+¥)-F(-¥),

где F(+¥)= , F(-¥)= .

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то несобственный интеграл расходится.

Пример. Интеграл сходится, так как

Интеграл расходится, так как

Для исследования на сходимость интегралов можно воспользоваться следующим признаком.

Признак сравнения. Пусть для всех x выполнено 0£f(x)£j(x). Тогда: 1) если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;

1. если расходится интеграл , то расходится интеграл .

Несобственные интегралы играют важную роль в различных разделах математики и ее приложениях, так, например, интеграл вида называется интегралом Пуассона и играет важную роль в теории вероятности.

Криволинейные интегралы

Вычисление криволинейного интеграла вдоль кривой от функции и cводится к нахождению определенных интегралов:

1. Если кривая задана уравнением , и – абсциссы крайних точек , дифференцируема, то

(36)

2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , где , дифференцируемые функции, то

(37)

Лекция 8.